Nutno znát: Logaritmy a pravidla jejich používání. Binomická věta a kombinační čísla. Znalost, že prostřední kombinační číslo v řádce Pascalova trojúhelníku je největší ze všech na této řádce.
V minulém díle jsme si ukázali, jak funguje nejjednodušší neuronová síť. Měli jsme jeden vstupní neuron a jeden výstupní neuron, vstup jsme označili \(i\), chtěný výstup \(y\) a výstup spočítaný neuronovou sítí \(a\). Neuronová síť k výpočtu potřebuje ještě proměnnou jménem váha, kterou jsme označili \(w\), a spočte výstup jako \(a = wi\).
Neuronové sítě jsou posledních pár let hodně velké téma. V několika následujících článcích si postupně vytvoříme neuronové sítě od nejmenších po největší a nakonec si ukážeme, jak bychom je programovali v Pythonu.
Nejprve si ale musíme říct něco o matematice, kterou budeme používat. Budeme potřebovat znát funkce, derivace a parciální derivace.
U všech následujících funkcí nakreslete graf, určete jejich definiční obor, určete obor hodnot, rozhodněte, zda jsou klesající, či rostoucí. Dále určete, zda jsou prosté a zda jsou omezené shora či zdola. Nakonec vypočtěte průsečík s osou \(x\) a s osou \(y\). Speciálně u lineárně lomených funkcí určete asymptoty.
U každé možnosti rozhodněte, jestli může nemít průsečík s osou \(x\), s osou \(y\), popř. nemít průsečík s oběma. V případě kladné odpovědi uveďte příklad. A) Lineární funkce B) Kvadratická funkce C) Lineární lomená funkce
Nalezněte funkci, jejíž definiční obor je \(\mathbb R – \{14\}\).
Nalezněte funkci, jejíž obor hodnot je \( [-31, \infty)\).
Mějme funkci \(y = \frac{2}{x+3}\). Nakreslete její graf, napište definiční obor a obor hodnot. Dále rozhodněte, jestli je prostá.
Najděte inverzní funkci k funkci \(y = \frac{2}{x+3}\), nakreslete její graf, napište její definiční obor a její obor hodnot. Dále rozhodněte, jestli je prostá.
Nevyřešené problémy Mějme nějaké celé kladné číslo. Pokud je sudé, vydělíme ho dvěma, pokud liché, vynásobíme ho třemi a přičteme jedničku. Pokud máme např. číslo \(3\), tedy číslo liché, máme jej vynásobit trojkou, tedy dostaneme \(3 \cdot 3 = 9\) a pak přičteme jedničku, takže \(9+1 = 10\). Dostali jsme sudé číslo. To máme vydělit dvěma, takže dostáváme \(10/2 = 5\). Dostali jsme tedy liché číslo. Opět tedy vynásobíme trojkou a přičteme jedničku, tedy \(3 \cdot 5 +1 = 16\). To je sudé číslo, tedy vydělíme dvěma \(16/2 = 8\). Opět dělíme dvěma \(8/2 = 4\), opět dvěma \(4/2 = 2\) a opět dvěma \(2/2 = 1\).
Dostali jsme se k číslu \(1\). Otázka, na kterou nikdo nezná odpověď, je: Začnu-li libovolným číslem, dostanu se tímto algoritmem vždy k číslu \(1\)? Tento problém se jmenuje Collatzova domněnka.
Spousty věcí také nevíme o prvočíslech. Mějme libovolné sudé celé číslo větší než \(2\). Nejmenším takovým je číslo \(4\). Nyní se ho pokusíme zapsat jako součet dvou prvočísel. Máme \(4 = 2+2\). Dále \(6\) můžeme zapsat jako \(6 = 3+3\) a pak \(8 =5+3\), \(10 = 5+5\), … Jestli každé sudé jsme schopni zapsat jako součet dvou prvočísel, nevíme. Tento problém se jmenuje Goldbachova domněnka (anglicky Goldbach conjencture). Zamyslete se, proč nemůžeme zapsat každé liché číslo větší než \(3\) jako součet dvou prvočísel.
Jako poslední problém uvedeme součet třetích mocnin. Sčítejme tři celá (můžou být kladná i záporná) čísla na třetí. Může se nám někdy stát, že vyjde číslo \(29\)? Ano, protože \(3^3+1^3+1^3 = 27+1+1 = 29\). Může se nám stát, že vyjde číslo \(30\)? To je už asi tak miliardkrát těžší otázka a odpověď je ano, protože \( (−283059965)^3 +(-2218888517)^3 + 2220422932^3 = 30\). Může se nám stát, že vyjde číslo \(114\)? To opět nikdo neví.
Modulární grupy, už byly sice probrány zde, ale daný článek obsahoval hodně různých konceptů najednou – v tomto jsou pro větší přehlednost jen věty, které jsou (a budou dále) pro modulární grupy důležité. Pokračovat ve čtení „Diskrétní matematika pro modulární grupy“
K této tematice je vhodno znát derivace a integrály, neboť motivací k některým vzorcům bude touha po podobnosti s derivačními/integrálními vzorečky. Není to však znalost nutná.
Možná už jste někdy viděli tento vzorec $$ 1+2+…+n = \frac{n(n+1)}{2}, $$