Počítání v \(\mathbb{R}\)

\(\alpha < \beta\)

Definujme si na \(\mathbb{R}\) relaci „menší než“:

$$ \alpha < \beta \Leftrightarrow \alpha \subset \beta. $$

Jako po každé slušné relaci „menší než“ chceme, aby splňovala tranzitivitu a trichotomii.

Pokračovat ve čtení “Počítání v \(\mathbb{R}\)”

Reálných čísel je více než přirozených

Reálných čísel je více než přirozených. Racionálních je stejně jako celých a celých je stejně jako přirozených. Přirozených čísel je stejně jako všech prvočísel a také je jich stejně jako čísel v množině \( \{10^{741}, 10^{2*741}, 10^{3*741},…\} = \{10^{k*741}| k \in \mathbb{N_{>0}} \} \) (tedy množiny, kde beru každé \(10^{741}\)-té číslo). Některá z těchto naprosto neintuitivních tvrzení si dokážeme v tomto článku. První však musíme pořádně napsat, jak takové porovnání vůbec provádět.

Pokračovat ve čtení “Reálných čísel je více než přirozených”

Jaké je řešení rovnice \(x^2=2\) aneb konstrukce reálných čísel (Dedekindovy řezy)

První motivace ke konstrukci reálných čísel

Potom, co jsme si již vytvořili přirozená, celá i racionální čísla, nám zbývají jen tzv. reálná čísla. Jednou z motivací nám může být otázka, jaké číslo řeší následující rovnici

$$ x^2 = 2. $$

Pokračovat ve čtení “Jaké je řešení rovnice \(x^2=2\) aneb konstrukce reálných čísel (Dedekindovy řezy)”

Kolik je 3/2+7/4 aneb konstrukce racionálních čísel

Co číst před tímto článkem – článek o počítání v \(\mathbb{Z}\).

Některé rovnice nemají v \(\mathbb{Z}\) řešení

Stále existují rovnice, které řešit v celých číslech. Co kdybych se, podobně jako v minulém příkladě ptal následovně:

Mám 2 koláče, chci dvakrát dostat ten samý kus koláče a mít 3 koláče, kolik koláče pokaždé dostanu?

Pokračovat ve čtení “Kolik je 3/2+7/4 aneb konstrukce racionálních čísel”

Počítání v \(\mathbb{Z} \)

Stejně jako v přirozených číslech si můžeme v celých číslech dokázat spoustu pěkných vlastností

a+0 = a = 0+a (V13)

Celé číslo \(0\) vyjadřujeme jako třídu ekvivalence \([(0, 0)]\) a celé číslo  \(a\) jako \( [(m,n)] \). Chceme tedy ukázat, že
$$ [(m,n)]+[(0,0)] = [(m,n)] = [(0,0)]+[(m,n)]. $$

Pokračovat ve čtení “Počítání v \(\mathbb{Z} \)”

Počítání v \(\mathbb{N}\)

Co si přečíst před tímto článkem – článek o Peanových axiomech, článek o indukci a článek o relacích.

Na přirozených číslech platí několik věcí, na které jsme zvyklí. Např. že \(5+7 = 7+5\), \(3+(4+7) =  (3+4)+7\) atd. Ale žádnou z těchto vlastností nemáme v Peanových axiomech – popisují snad Peanovy axiomy jiná přirozená čísla, než na jaká jsme zvyklí? Ne, všechny tyto vlastnosti můžeme odvodit z Peanových axiomů.

Pokračovat ve čtení “Počítání v \(\mathbb{N}\)”

Kolik je 2-3 aneb konstrukce celých čísel

Co si přečíst před tímto článkem – článek o počítání v \(\mathbb{N}\).

Některé rovnice nemají v \(\mathbb{N}\) řešení

Už jsme se naučili spočítat, kolik je \(2+2\). Vlastně jsme si vymysleli nekonečně mnoho různých symbolů, kterými jsme doposud byli zvyklí počítat věci.

Pokračovat ve čtení “Kolik je 2-3 aneb konstrukce celých čísel”

Kolik je 2+2 aneb konstrukce přirozených čísel

Jak víme, že jedna plus jedna je dva? Tak, že jsme se domluvili, že nějak budeme chápat symboly „\(1\)“, „\(+\)“, „\(2\)“ a „\(=\)“.

Pokud se na něčem v matematice dohodneme (a neodvozujeme to z jiných věcí), řekneme tomu něčemu axiom. Axiom je tvrzení, které se nedokazuje a z něj odvozujeme další různá tvrzení.

Pokračovat ve čtení “Kolik je 2+2 aneb konstrukce přirozených čísel”