Diskrétní matematika pro modulární grupy

Prerekvizita k tomuto článku – modulo.

Modulární grupy, už byly sice probrány zde, ale daný článek obsahoval hodně různých konceptů najednou – v tomto jsou pro větší přehlednost jen věty, které jsou (a budou dále) pro modulární grupy důležité.
Pokračovat ve čtení “Diskrétní matematika pro modulární grupy”

Permutace a symetrické grupy

V minulém článku jsme si vysvětlili, co jsou to grupy. Nyní se přesuneme do zdánlivě nesouvisející oblasti, kterou je teorie permutací, a následně si ukážeme, že tvoří jeden z nejzákladnějších druhů grup.

Základy permutací

Slovo permutace možná znáte ve významu přeházení pořadí nějakých věcí. A to není daleko od formální definice.

Pokračovat ve čtení “Permutace a symetrické grupy”

Semigrupy

 

Než si budeme definovat nějaké pojmy, pojďme se podívat na nějaké rozdíly v grupoidech \( (\mathbb{Z}; +)\) a \( (\mathbb{Z}; -)\). Když si vezmu libovolné tři prvky z prvního grupoidu (vyberme např. \(1,2, – 3\) pro ilustraci), tak platí, že \(1+(2-3) = (1+2)-3\). Vybereme-li ty samé tři prvky z druhého grupoidu, dostáváme \(1-(2-3) \neq (1-2)-3\) (neboť \(1-(2-3) = 1-(-1) = 2\), zatímco \( (1-2)-3 = -4.\) Tedy v prvním grupoidu jsme mohli přeskupit závorky, v druhém ale nikoliv. Když takto závorky můžeme přeskupit, říkáme, že zde platí tzv. asociativní zákon.

Pokračovat ve čtení “Semigrupy”

Krátké povídání o funkcích a jejich skládání

Grupoid může obsahovat i funkce, jak si ukážeme v příštím článku. Připomeňme si tedy (spíše neformálně než s použitím přesných definicí) co to taková funkce vlastně je.

Pokračovat ve čtení “Krátké povídání o funkcích a jejich skládání”

Grupoid

Grupoid

V minulém článku jsme si řekli něco o algebraických strukturách. Grupoid je jednou z nejjednodušších algebraických struktur. Je to struktura s jednou binární operací. Žádné další požadavky nemusí být splněny, abychom o dané struktuře řekli, že je grupoidem. Grupoid budeme značit jako dvojici (množina; operace). Např. (\( \mathbb{N}; +\) ) pro nás bude množina přirozených čísel se sčítáním.

Pokračovat ve čtení “Grupoid”

Abstraktní algebra

Cílem této série článků bude podat základní představu o tom, co je to abstraktní algebra. Uděláme si drobnou rekapitulaci toho, co známe. Na ZŠ jistě každý zažil aritmetiku, kde se učil sčítat, odčítat, násobit, dělit, umocňovat, odmocňovat konkrétní čísla. Byla to nauka o číslech (\(1\); \(2\); \(3\); \(0\); \(-5\); \(-4.25\); …) a operacích nad nimi (\(1+1\); \(2+5\); \(3-8\); \(2 \cdot 4\); \(3^5\); \(\sqrt{9}\); …). Tyto operace měly (s trochou štěstí) i nějaký výsledek:

Pokračovat ve čtení “Abstraktní algebra”