Příklady

  1. Dokažte trojúhelníkovou nerovnost.
  2. Zjednodušte zlomek \( \displaystyle \frac{\frac{3}{x-1}+\frac{4}{x+2}}{\frac{7}{x+2}-\frac{5}{x-1}} \) a určete, pro jaká reálná \(x\) má smysl.
  3. Najděte funkce \(f(x), g(x)\) takové, že \(f(x) < g(x)\) pro všechna reálná \(x\), ale \(f'(x) > g'(x)\) pro všechna reálná \(x\).
  4. Najděte funkce \(f(x), g(x)\) takové, že \(f(x) < g(x)\) a obor hodnot obou je \(\mathbb R^+\), ale \(f'(x) > g'(x)\) .
  5. Je možné přirozenými čísly namapovat všechna celá čísla? Pokud ano, jak?
  6. Mějme množinu \(M\) a na ní definovanou operaci \(\theta\). Mějme operaci \(\circ\) takovou, že \(x \circ \theta(y) = \theta(x \circ y)\) a \(x \circ \alpha = x\).
    Přepište výraz \(\theta(\theta(\theta(\alpha))) \circ \theta(\theta(\alpha))\) tak, aby neobsahoval žádnou operaci \(\circ\).
  7. Najděte největší společný dělitel čísel \(91\) a \(170\) Eukleidovým algoritmem.
  8. Dokažte, že pro všechna přirozená \(n\) větší než \(3\) je \(n! > 2^n\).
  9. Dokažte, že pro všechna reálná kladná \(\varepsilon\) existuje \(n_0 \in \mathbb N\) takové, že pro všechna \(n \geq n_0\) platí \(n^{1+\varepsilon} > n \cdot \log(n)\).
  10. Dokažte Taylorovým rozvojem, že \(e^{ix} = \cos(x)+i\sin(x)\).
  11. Dokažte pomocí derivace funkce \(f(x) = \frac{\cos x+ i \sin x}{e^{ix}} \), že \(e^{ix} = \cos(x)+i\sin(x)\).
  12. Odvoďte algoritmickou složitost hledání prvku v poli metodou bisekce.
  13. Metodou bisekce odhadněte reálný kořen polynomu \(x^3-3\).
  14. Dokažte, že pokud je \(a\) větší než \(x\) a platí \(g = a \ mod \ x\), pak \(a \cdot b\) má stejný zbytek po dělení číslem \(x\) jako \(g \cdot b\).
  15. Nalezněte uzavřený předpis (ne rekurzivní) Fibonacciho posloupnosti.
  16. Dokažte/vyvraťte, že \(f: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^3\) definované předpisem \(f( (x, y) ) = (x+y, 2x-y, x-y)\) je lineární zobrazení, nalezněte jeho jádro, obraz a matici.
  17. Mějme konstantní zrychlení \(a\). Odvodťe vzorec pro dráhu \(s\) uraženou za čas \(t\).
  18. Pro všechna celá čísla platí, že buď \(a = 0 \pmod 2\), nebo \(a = 1 \pmod 2\). Tyto dvě kongruence tvoří tzv. pokrývací systém (tj. všechna celá čísla splňují alespoň jednu kongruenci). Mod je však vždy stejný (tj. \(2\)). Vymyslete vlastní pokrývací systém s různými mod většími než \(1\).
  19. Odvoďte vzorec pro \(\sum n^3\) (použijte diskrétní diferenciální počet)
  20. Odvoďte vzorec pro kořeny polynomu \(ax^2+bx+c\).
  21. Najděte vlastní vektory a čísla matice
    \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}
  22. Spočtěte limitu posloupnosti \(a_n = \frac{3}{n^2}\).
  23. Spočtěte \(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} \).
  24. Dokažte matematickou indukcí binomickou větu.
  25. Nechť \(n \in \mathbb N\). Dokažte, že derivace funkce \(y(x) = x^n\) podle \(x\) je \(n \cdot x^{n-1}\).
  26. (první věta o substituci) Nechť \(F\) je primitivní funkcí k \(f\) na intervalu \( (a, b)\). Nechť \(\varphi\) je funkce definovaná na intervalu \( (\alpha, \beta)\) s hodnotami v \( (a ,b)\), která má všude na tomto intervalu derivaci.
    Dokažte, že pak platí \(\displaystyle \int f(\varphi(t)) \varphi'(t) \mathbb d t = F(\varphi(t))+c\)
  27. Pomocí první věty o substituci spočtěte \(\displaystyle \int \sin^4(t) \cos(t) \mathbb d t\).
  28. Spočtěte \(\displaystyle \int_{0}^{1} x^2 \mathbb d x\) z definice Riemannova integrálu.
  29. Napište definici násobení dvou matic.
  30. Mějme bázové vektory \(e_1 = (1, 0)\) a \(e_2 = (0, 1)\). Nechť \(f_1 = 2e_1+e_2\) a \(f_2 = -\frac{1}{2}e_1 + \frac{1}{2}e_2\). Dokažte, že \(f = \{f_1, f_2\}\) tvoří bázi a naleznětě souřadnice vektoru \( (2, 6)\) v bázi \(f\).
  31. Mějme bázové vektory \(e_1 = (e_{1x}, e_{1y}), e_2 = (e_{2x}, e_{2y})\). Nechť \(f_1 = ae_1+be_2, f_2 = ce_1+de_2\). Dokažte, že potom platí, že existují reálná \(i, j, k, l\) taková, že \(e_1 = if_1+jf_2, e_2 = ke_1+le_2\) a že \(
    \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} i & j \\ k & l \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)
  32. Dokažte, že lineární zobrazení zobrazuje nulový vektor vždy na nulový vektor.
  33. Určete znaménko permutace \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \).
  34. Spočtěte z definice determinant matice \(\begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} \).
  35. Spočtěte z definice parciální derivaci \(\frac{\partial}{\partial x} (xy)\).
  36. Mějme množinu \(M\) a výrokovou formuli \(V\). Negujte výrok \(\forall x \in M: V(x)\).
  37. Negujte výrok \(\exists A \in \mathbb R, \forall \varepsilon \in \mathbb R^+, \exists n_0 \in \mathbb N, \forall n \in \mathbb N, n \geq n_0: |a_n – A| < \varepsilon\).
  38. Zjistěte pravdivostní hodnotu výroku \( \neg (A \land B) \Leftrightarrow \neg A \lor \neg B\).
  39. Ukažte, že složení dvou permutací je opět permutace.
  40. Dokažte, že pro každé dva prvky grupy platí, že \( (xy)^{-1} = y^{-1} x^{-1}\).
  41. Mějme grupu \(\mathbb Z_6\) se sčítáním modulo 5. Dále mějme grupu \(\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_3\) se sčítáním v \(x\)-ové složce v modulo \(2\) a v \(y\)-ové složce modulo \(3\).
    Dokažte, že jde opravdu o grupy a že jsou izomorfní.
  42. Mějme homomorfismus \(\varphi\) mezi grupami \(G_1, G_2\). Dokažte, že pak \(\forall x \in G_1: \varphi (x^{-1}) = (\varphi(x))^{-1}\).
  43. Pro jaká reálná \(x\) platí, že \(\sqrt{x^2+2x-3} \geq \sqrt{x^2+3x-4}\)?
  44. Pro jaká reálná \(x\) platí, že \(| |x-3| -2| = 1\)?
  45. Pro jaká reálná \(x\) platí, že \(\log_{\frac{1}{3}} (x^2-3x+2) \geq 0\)?
  46. Mějme výrok \(\forall x, y \in \mathbb R: x^2+y^2 > 0\). Platí tento výrok, nebo jeho negace?
  47. Mějme množinu \(M = \cup_{n \in \mathbb N} \frac {1}{n}\). Jaké je její supremum? Jaké je její infimum?
  48. Mějme částici pohybující se v \(1\)D podle rovnice \(x(t) = \sin^2(t)-4t^2\). V jakých časech má tato částice největší/nejmenší rychlost, resp. největší/nejmenší zrychlení?
  49. Dokažte, že pro všechna přirozená \(n\) platí, že \(2^n \cdot n! = (2n)!!\), kde dva vykřičníky znamenají násobení ob jedno. Pro liché \(k!! = k(k-2)…3 \cdot 1\) a pro sudé \(k!! = k(k-2)… 4 \cdot 2\).
  50. Podle věty o derivaci inverzní funkce odvoďte derivaci \(\arcsin(x)\) ).
  51. Odvoďte Maclaurinův rozvoj funkce \(\arcsin(x)\) (hint: odvoďte Maclaurinův rozvoj funkce \(\frac{1}{\sqrt{1-x}}\) a využijte znalosti derivace \(\arcsin(x)\) ).
  52. Určete pohybové rovnice pro rovnoměrný pohyb částice po kruhu o poloměru \(r\) (\(x(t), y(t) = ?\) ). Z toho odvoďte \(v_x, v_y, a_x, a_y\) a velikost \(v, a\). Jak by se pohyb změnil, kdybychom nechali stejné \(x(t), y (t)\) a přidali navíc \(z(t) = kt\) pro nějaké reálné \(k\)?
  53. Mějme soustavu \(S\) a jinou soustavu \(S’\), která se vůči \(S\) pohybuje rovnoměrně přímočaře rychlostí \(u\) a v čase \(t\) počátky obou soustav splývaly. Mějme hmotný bod \(M\), jehož poloha v soustavě \(S\) je dána polohovým vektorem \(r\) a v soustavě \(S’\) dána polohovým vektorem \(r’\). Vyjádřete \(r\) pomocí \(r’\).
  54. Mějme částici, kterou vystřelíme z výšky \(h = 0\) nahoru pod úhlem \(\alpha\) vůči podložce. Odvoďte, pro jaký úhel doletí částice nejdál (tření neuvažujte).
  55. Mějme nezávislou proměnnou \(x\) a funkci \(Y\) závislou na \(x\) a \(\varepsilon\). Vyjádřete derivaci \(\frac{\mathbb d}{\mathbb d \varepsilon}(F(x, Y, Y’))\) podle vzorce pro derivaci složené funkce více proměnných.
  56. Mějme spotřebič, který má výkon \(2400 \ W\). Mějme prodlužovačku, která má maximální proudové zatížení \(10 \ A\). V zásuvce je \(230 \ V\). Je možné používat tuto prodlužovačku pro daný spotřebič?
  57. Dokažte dvěma způsoby, že existuje nekonečně mnoho prvočísel.
  58. Mějme trojúhelník s odvěsnami \(a, b\) a přeponou \(c\) a s body \(A, B, C\) (kde bod je vždy proti straně s daným názvem). Pokud se rozejdeme z bodu \(B\) do bodu \(C\) a pak bodu \(A\), urazíme nějakou vzdálenost, kterou si označme \(s_1\).

    Pokud se rozejdeme z bodu \(B\) do bodu \(C\) a nedojdeme až do bodu \(C\), urazíme vzdálenost \(b_d\). Potom se obrátíme a dojdeme do bodu \(B\) zpět a odsud do bodu \(A\).

    Pro jaké vzdálenosti \(a_d\) bude výsledná cesta kratší než \(s_1\)?
  59. Zintegrujte funkci \(f(x) = \frac{7x-23}{(x-2)(x-5)}\).
  60. Zintegrujte funkci \(f(x) = \frac{7x^2-3x+26}{(x-2)(x^2+2x+24)}\).
  61. Kolika různými součty přirozených čísel lze vyjádřit přirozené číslo \(n\)? Záleží na pořadí, tj. např. \(12+1\) je jiný součet než \(1+12\). Obecněji, pokud jsou \(k, l\) různé, pak \(k+l\) je jiný součet než \(l+k\). Počítejte \(n+0\) a \(0+n\) jako dva další součty, ale jiné součty vždy bez nuly. Grafická reprezentace pro číslo \(13\)
  62. Alespoň třemi způsoby dokažte, že \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\).
  63. Spočtěte integrál \(\displaystyle \int \frac{\dot x_{i}(t)- \dot x_{i-1}(t)}{x_i(t)-x_{i-1}(t)} \mathbb d t\).
  64. Nalezněte \(3\) dvojdimenzionální vektory nad tělesem reálných čísel, které jsou po dvou lineárně nezávislé, ale dohromady jsou lineárně závislé.
  65. Nalezněte zobrazení \(\mathbb N \rightarrow \mathbb N\), které je prosté, ale není na.
  66. Nalezněte zobrazení \(\mathbb N \rightarrow \mathbb N\), které je na, ale není prosté.
  67. Mějme polynom \(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+…a_0\), kde \(a_n\) a \(a_0\) jsou různé od nuly. Dokažte, že pokud má tento polynom racionální kořen v (základním) tvaru \(\frac{p}{q}\) pro celá \(p, q\), potom \(p\) dělí \(a_0\) a \(q\) dělí \(a_n\).
  68. Nalezněte jeden racionální kořen polynomu \(x^3+3x^2+4x+12\) a pomocí něj nalezněte zbylé dva kořeny.
  69. Odhadněte, jak vypadá \(n-\)tá derivace funkce \(xe^x\) a poté svůj odhad dokažte indukcí.
  70. Vektory \(v, w\) jsou kolmé, právě tehdy když je jejich skalární součin roven nule. Najděte libovolný vektor kolmý k vektoru \( (3,2)\).
  71. Najděte dva jednotkové vektory kolmé k vektoru \( (3,2)\).
  72. Nechť platí \(xy + \sin(y) = x^2\), kde \(y = y(x)\) (neboli \(y\) je funkcí proměné \(x\)). Nalezněte \(\frac{\mathbb d y}{\mathbb d x}\).
  73. Dokažte, že mezi každými dvěma reálnými čísly je alespoň jedno racionální číslo.
  74. Mějme vektor \(v = (3, 2)\). Jaká je jeho velikost? Nalezněte alespoň jeden vektor různý od \(v\), který je s vektorem \(v\) rovnoběžný.
  75. Nalezněte jednotkový vektor ve směru vektoru \(v = (1, 4)\).
  76. Nalezněte vektor, který svírá s osou \(x\) úhel \(\frac{\pi}{6} \ rad\) a má velikost \(9\).
  77. Tzv. středové rovnice kružnice se středem v bodě \([m; n]\) a poloměrem \(r\) je \( (x-m)^2+(y-n)^2 = r^2\). Ověřte, zda rovnice \(x^2-6x+y^2-10y+30 = 0\) popisuje nějakou kružnici. Pokud ano, jaký má poloměr a jaký má střed?
  78. Nechť \(\hat i = (1, 0, 0), \hat j = (0, 1, 0), \hat k = (0, 0, 1)\). Vektorový součin definujeme jako \(u \times v = |u| |v| \sin \alpha \cdot \textbf{n}\), kde \(\alpha\) je úhel, který spolu svírají vektory \(u\) a \(v\), a \(\textbf{n}\) je jednotkový vektor kolmý k vektorům \(u\) i \(v\) .
    Pokud napíšeme vektory \(u\) a \(v\) jako \(u = u_1 \cdot \hat i + u_2 \cdot \hat j+u_3 \cdot \hat k\) a \(v = v_1 \cdot \hat i +v_2 \cdot \hat j + v_3 \cdot \hat k\) a využijeme distributivity, jak bude vypadat výsledný vektorový součin \(u \times v\)?
  79. Pro jaké vektory platí \(u \times v = v \times u\)?
  80. Mějme vektor \( (2, 1, 3)\). Jaký je předpis pro vektory, které jsou s tímto rovnoběžné?
  81. Mějme křivku popsanou následujícími rovnicemi: \(x = -1+4t, y = -2+7t, z = -\frac{1}{2} + 5t\) pro všechna reálná \(t\). Je tato křivka přímkou?
  82. Mějme lineární funkce \(g: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^1\). Definujme jejich součet následovně: \( (f+g)(v) = f(v)+g(v)\). A součin funkce se skalárem \(\alpha \in \mathbb R^1\) definujme následovně \( ( \alpha \cdot f)(v) = \alpha \cdot f(v)\). Dokažte, že \(f+g\) je lineární funkcí.
  83. Mějme \( f(3x) = f(3) + f(x) \).
    1. Jde vždy dokázat, že \( f(1) = f(3) \)? Za jakých podmínek?
    2. Za jakých podmínek to nemusí být pravda?
      1. Navrhněte funkci \( f(x) \), která to i v takovém případě splňuje.
  84. Mějme funkci \(y = x^2\). Nalezněte všechny její tečny, které procházejí bodem \( [1; -1]\).
  85. Nechť pro všechna \(x \in \mathbb R\) platí, že \(f(x+2) = x^2+4x+12\). Nalezněte funkci, která toto splňuje.
  86. Mějme orientovaný graf. Jeho topologické uspořádání je takové očíslování vrcholů, že pro každou hranu \(i \rightarrow j\) platí \(i < j\). Dokažte, že topologické uspořádání orientovaného grafu existuje právě tehdy, když je tento graf acyklický.
  87. Mějme komutativní grupu \( (G, \cdot)\). Nechť \(f(g) = g^{-1}\) je funkce z \(G\) do \(G\). Rozhodněte, zda jde o izomorfismus.
  88. Dokažte, že pro všechna přirozená \(n\) platí \( (\frac{n}{e})^n < n!\).
  89. Dokažte, že \(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^n}{e^n n!}\) existuje a je konečná.
  90. Mějme \(f: \mathbb Q \rightarrow \mathbb Q\) splňující \(f(x+y) = f(x)+f(y)\) pro všechna racionální \(x, y\). Nalezněte všechny funkce toto splňující.
  91. Dokažte, že pro všechna \(x, y \in \mathbb R, x, y > 0\) platí \(x+y > \sqrt{x^2+y^2}\).
  92. Spočtěte \(\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})^2+(\frac{1}{2\left \lceil\frac{n}{2}\right \rceil})^2}\).
  93. Mějme množinu bodů \(A_n = (\frac{1}{n},\frac{1}{n})\) a \(B_n = (\frac{1}{n}, 0)\). Vytvořme křivku tak, že vytvoříme následující úsečky: \(B_1A_2, A_2B_3, B_3A_4,…, B_kA_{k+1}, A_{k+1}B_{k+2},…\). Jaká je její délka?
  94. Mějme jednotkovou kružnici umístěnou v počátku. Definujme dvě tzv. stereografické projekce na přímku.

    První z nich je daná tím, že povedeme přímku skrz libovolný bod \( (x_p, y_p)\) kružnice a skrz sever kružnice (bod \( (0, 1)\)). Průnik této přímky s osou \(x\) označíme \(\varphi_1(P)\).

    Druhá z nich je daná tím, že povedeme přímku skrz libovolný bod \( (x_q, y_q)\) kružnice a skrz jih kružnice (bod \( (0, -1)\)). Průnik této přímky s osou \(x\) označíme \(\varphi_2(Q)\).

    Vyjádřete \(\varphi_1(P)\), resp. \(\varphi_2(Q)\) v závislosti na \(x_p, y_p\), resp. \(x_q, y_q\). Dále vyjádřete \(x_p, y_p\) v závislosti na \(\varphi_1(P)\) a \(x_q, y_q\) v závislosti na \(\varphi_2(Q)\).

    Nakonec vyjádřete \(u_1\) pomocí \(u_2\).
  95. Mějme sumu převrácených hodnot prvočísel, tj. \(\sum_{p \in \mathbb P} \frac{1}{p} = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+…\frac{1}{k}+…\). Pro jaká \(k\) vyjde celé číslo?
  96. Dokažte, že pro kladná přirozená \(n\) platí \(\frac{4^n}{2n}\leq {2n \choose n}\).
  97. Nechť \(\nu_p(n)\) označuje největší mocninu prvočísla \(p\) dělícího přirozené číslo \(n\). Odvoďte vzorec pro \(\nu_p(n!)\).
  98. Dokažte, že pro všechna přirozená \(n\) platí, že \(\sum_{k=0}^n {n \choose k} = 2^n\).
  99. Nalezněte takové kladné reálné \(c\), že pro všechna přirozená \(n\) platí, že \(2^n \geq cn^2\).
  100. Mějme funkci \(f(x) = x+\frac{1}{x}\) s definičním oborem \( (0, \infty)\). Dokažte bez použití derivací, že na intervalu \( (0, 1)\) klesá a na intervalu \( (1, \infty)\) roste. Potom mějme funkci \(g\) definovanou stejně jako \(f\), ale jen na intervalu \((0, 1)\) a funkci \(h\) definovanou stejně jako \(f\), ale jen na intervalu \( (1, \infty)\). Dokažte, že obor hodnot funkcí \(g, h\) je \( [2, \infty)\).
  101. Mějme nekonečné posloupnosti reálných čísel. Sčítání definujeme po složkách, tj. \( (a_1, a_2,…) + (b_1, b_2,…) = (a_1+b_1, a_2+b_2,…)\) a násobení skalárem takto \( c \cdot (a_1, a_2,…) = (c \cdot a_1, c \cdot a_2,…)\).Dokažte, že tvoří vektorový prostor.
  102. Co z následujícího tvoří podprostor nekonečných posloupností reálných čísel?
    1. Množina všech posloupností s nulami na prvních \(n\) místech, kde \(n\) je pevně zvolené přirozené číslo).
    2. Množina všech konvergentních posloupností.
    3. Množina všech posloupností s limitou různou od nuly.







Jeden komentář u “Příklady”

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *