Neuronové sítě II.

V minulém díle jsme si ukázali, jak funguje nejjednodušší neuronová síť. Měli jsme jeden vstupní neuron a jeden výstupní neuron, vstup jsme označili \(i\), chtěný výstup \(y\) a výstup spočítaný neuronovou sítí \(a\). Neuronová síť k výpočtu potřebuje ještě proměnnou jménem váha, kterou jsme označili \(w\), a spočte výstup jako \(a = wi\).

Pokračovat ve čtení “Neuronové sítě II.”

Neuronové sítě I.



Neuronové sítě jsou posledních pár let hodně velké téma. V několika následujících článcích si postupně vytvoříme neuronové sítě od nejmenších po největší a nakonec si ukážeme, jak bychom je programovali v Pythonu.

Nejprve si ale musíme říct něco o matematice, kterou budeme používat. Budeme potřebovat znát funkce, derivace a parciální derivace.

Pokračovat ve čtení “Neuronové sítě I.”

Domácí úkol na funkce

U všech následujících funkcí nakreslete graf, určete jejich definiční obor, určete obor hodnot, rozhodněte, zda jsou klesající, či rostoucí. Dále určete, zda jsou prosté a zda jsou omezené shora či zdola. Nakonec vypočtěte průsečík s osou \(x\) a s osou \(y\). Speciálně u lineárně lomených funkcí určete asymptoty.

1. \(f(x) = x\),
2. \(f(x) = 3x-4\),
3. \(f(x) = x^2\),
4. \(f(x) = x^2+ 2x-3\),
5. \(f(x) = \displaystyle \frac{1}{x}\),
6. \(f((x) = \displaystyle \frac{3x-2}{x+4}\).


U každé možnosti rozhodněte, jestli může nemít průsečík s osou \(x\), s osou \(y\), popř. nemít průsečík s oběma. V případě kladné odpovědi uveďte příklad.
A) Lineární funkce
B) Kvadratická funkce
C) Lineární lomená funkce

Nalezněte funkci, jejíž definiční obor je \(\mathbb R – \{14\}\).

Nalezněte funkci, jejíž obor hodnot je \( [-31, \infty)\).

Řešte rovnici \(6^ {\displaystyle 3x^2} = 216^{\displaystyle 2x}\).

Úkol 1

1. Mějme funkci \(f(x) = x^2\). Jak vypadá její graf? Potom mějme \(x \in [0;5]\)? Kolik je např. \(f(5)\)? Kolik \(f(4)\)? Co se děje s výsledkem, zmenšujeme-li na tomto intervalu funkční hodnotu?

2. Mějme funkci \(f(x) = x^3+1\). Její graf vypadá takto

Spočtěme hodnoty pro \(x = 5\) a \(x = 7.5\), dostáváme \(f(5) = 126, f(7.5) = 422.875\).

Rozmyslete si, co je geometrický význam (na našem obrázku) výrazu \(\frac{f(7.5)-f(5)}{7.5-5}\).
(Hint \(1\) – najděte nějaký pravoúhlý trojúhelník)
(Hint \(2\) – zkuste stejnou úvahu provést u \(2\) různých přímek)

Domácí úkol a zajímavé nevyřešené problémy

Vyřešte rovnici \(5 = \frac{2}{x+3}\).

Mějme funkci \(y = \frac{2}{x+3}\). Nakreslete její graf, napište definiční obor a obor hodnot. Dále rozhodněte, jestli je prostá.

Najděte inverzní funkci k funkci \(y = \frac{2}{x+3}\), nakreslete její graf, napište její definiční obor a její obor hodnot. Dále rozhodněte, jestli je prostá.


Nevyřešené problémy
Mějme nějaké celé kladné číslo. Pokud je sudé, vydělíme ho dvěma, pokud liché, vynásobíme ho třemi a přičteme jedničku. Pokud máme např. číslo \(3\), tedy číslo liché, máme jej vynásobit trojkou, tedy dostaneme \(3 \cdot 3 = 9\) a pak přičteme jedničku, takže \(9+1 = 10\). Dostali jsme sudé číslo. To máme vydělit dvěma, takže dostáváme \(10/2 = 5\). Dostali jsme tedy liché číslo. Opět tedy vynásobíme trojkou a přičteme jedničku, tedy \(3 \cdot 5 +1 = 16\).
To je sudé číslo, tedy vydělíme dvěma \(16/2 = 8\). Opět dělíme dvěma \(8/2 = 4\), opět dvěma \(4/2 = 2\) a opět dvěma \(2/2 = 1\).

Dostali jsme se k číslu \(1\). Otázka, na kterou nikdo nezná odpověď, je: Začnu-li libovolným číslem, dostanu se tímto algoritmem vždy k číslu \(1\)? Tento problém se jmenuje Collatzova domněnka.



Spousty věcí také nevíme o prvočíslech. Mějme libovolné sudé celé číslo větší než \(2\). Nejmenším takovým je číslo \(4\). Nyní se ho pokusíme zapsat jako součet dvou prvočísel. Máme \(4 = 2+2\). Dále \(6\) můžeme zapsat jako \(6 = 3+3\) a pak \(8 =5+3\), \(10 = 5+5\), … Jestli každé sudé jsme schopni zapsat jako součet dvou prvočísel, nevíme. Tento problém se jmenuje Goldbachova domněnka (anglicky Goldbach conjencture).
Zamyslete se, proč nemůžeme zapsat každé liché číslo větší než \(3\) jako součet dvou prvočísel.



Jako poslední problém uvedeme součet třetích mocnin. Sčítejme tři celá (můžou být kladná i záporná) čísla na třetí. Může se nám někdy stát, že vyjde číslo \(29\)? Ano, protože \(3^3+1^3+1^3 = 27+1+1 = 29\). Může se nám stát, že vyjde číslo \(30\)? To je už asi tak miliardkrát těžší otázka a odpověď je ano, protože \( (−283059965)^3 +(-2218888517)^3 + 2220422932^3 = 30\).
Může se nám stát, že vyjde číslo \(114\)? To opět nikdo neví.


Až moc formální řešení diferenciální rovnice

 

Nutné předešlé znalosti:
Základní znalost derivací, derivace složené funkce, základní znalost integrování

Disclaimer:
Neukážeme ÚPLNĚ nejformálnější postup, ale ukážeme postup podstatně formálnější, než jak je běžně ukazován v učebnicích fyziky. Nebudeme nikde násobit žádným dx, ale do úplné formálnosti bude chybět diskuse, kde přesně jsou naše řešení definována.

Pro jistotu si nejprve napíšeme, co budeme přesněji potřebovat.

Pokračovat ve čtení “Až moc formální řešení diferenciální rovnice”

Diskrétní matematika pro modulární grupy

Prerekvizita k tomuto článku – modulo.

Modulární grupy, už byly sice probrány zde, ale daný článek obsahoval hodně různých konceptů najednou – v tomto jsou pro větší přehlednost jen věty, které jsou (a budou dále) pro modulární grupy důležité.
Pokračovat ve čtení “Diskrétní matematika pro modulární grupy”