Od rovnic k nerovnicím

Malý příklad na začátek

Představte si, že máte třeba košík jablek. Pro mladší generace plastovou misku s jablky. Jablek máte třeba 10. Přijde za vámi sousedka se svým kyblíkem a řekne, že má o šest jablek více než vy. V hlavě vám asi automaticky naskočí, že jablek bude mít 16 – ale jak jste na to přišli?

Aniž byste to možná tušili, mozek vám automaticky právě vyřešil rovnici. A jak? Podívejme se nejdříve na vaši misku s jablky. Kolik jablek máte? Ano, 10. Takže můžeme psát, že počet jablek, které označíme třeba \(p\) bude \(10\). Všude, kde si můžete říci “tady je toho tolik a tolik,” můžete s klidem použít znak rovná se – ten doslova říká, že věci, které jsou od rovnítka vlevo jsou stejné jako věci od rovnítka vpravo. Píšeme tedy

\[p = 10.\]

Kolik má tedy sousedka? Říkali jsme, že má o šest jablek více, tedy pokud počet jablek, která má sousedka, označíme jako \(s\), víme, že má doslova o šest víc než my. A kolik máme my? \(p\) jablek. Tedy

\[s = p + 6\]

jablek v sousedčině kyblíku. Za \(p\) můžeme dosadit[1]vzpomeňme si, proč můžeme – znak rovná se vyjadřuje stejnost, všechna \(p\) tedy můžeme nahradit \(10\) desítkou a tím pádem

\[s = 10 + 6 = 16\]

jablek u sousedky.

Tento příklad byl značně triviální, ale zkusme vyřešit třeba pokročilejší úlohu – jak je v té dětské říkance, měla babka 4 jakba a dědoušek jen 2, dej mi babko 1 jabko a budeme mít stejně. Jak na tento výpočet zmínění senioři přišli?

Označme si obsah dědouškova počtu jablek \(d\) a babčina \(b\)[2]omlouvám se tímto všem dyslektikům. Víme, že \(b = 4\) a \(d = 2\). Pokud chtějí mít stejně, musí být schopni se postavit přes rovnítko a říci, že vše krásně platí. Jak ale na to?

Intuitivně vidíme, že \(b \gt d\) a a tím pádem (opět intuitivně) budeme muset babce něco ubrat a dědouškovi něco přidat. Toto něco tedy označme \(n\) a zapišme předchozí větu do rovnice:

\[b-n = d+n.\]

Chceme-li, aby si počet jablek \(n\) mezi sebou předali a tento počet se během transakce nezměnil, budeme uvažovat, že bude stejný počet jablek darovaných jako přijatých, proto můžeme označit pouze jedním písmenkem, v našem případě tedy \(n\).

Jak na toto \(n\) přijít? Použije tzv. ekvivalentních úprav, tedy úprav, které mohu s rovnicí dělat, aniž bych nezměnil platnost či pravdivost rovnice[3]Například mám-li rovnost \(1 + 1 = 2\) a na pravou stranu rovnice přidám třeba \(1 + 1 = 2 + 7\) ihned vidím, že už rovnost neplatí, neprovedl jsem tedy ekvivalentní úpravu..

Prvním krokem tedy bude dostat \(n\) na jednu stranu, což v řeči ekvivalentních úprav znamená, že k oběma stranám přičtu \(n\), tedy

\[b – n + n = d + n + n \]

a vyřeším levou i pravou stranu, tedy posčítám \(n\) k sobě, vyjde mi tedy

\[b = d + 2n\]

a tuto rovnost řeším pro \(n\). Abych tak mohl učinit, musím osamostatnit \(n\), tedy opět použiji ekvivalentních úprav, od obou stran rovnice odečtu to, co mi tam překáží, v tomto případě \(d\) a dostanu

\[b – d = d – d + 2n\]

a tedy

\[b – d = 2n\].

Abych dostal samotné \(n\), musím v tomto případě obě strany podělit dvojkou a dostanu

\[\frac{b-d}{2} = \frac{2n}{2}\]

a tedy

\[\frac{b-d}{2} = n\].

A máme vyřešeno! Dosadíme tedy za \(b\) a \(d\), tedy

\[\frac{4-2}{2} = \frac{2}{2} = 1 = n\][4]Ano, mohu takto řetězit rovnosti.

a vidím tak, že \(n=1\), tedy že babka dá dědouškovi jedno jablko a nastane toto ovocné ekvilibrium.

Cesta k nerovnici

Co kdybychom ale předcohzí úlohu změnili, že babka bude mít třeba 10 jablek v batohu a dědoušek 3 jablka ve svém batohu a budeme se ptát kolik nejméně jablek musí dát někdo někomu jinému, aby měl dědouek více jablek než babka? To už tak jednoduchá úloha, zdánlivě, není, pojďme ji vyřešit a uvidíte, že to je doclea snadné.

Označme opět \(d\) a \(b\) naše přátele z minulého případu, akorát hodnoty budou \(b = 10\) a \(d = 3\). Zcela jasně vidíme, že babka má víc jablek než dědoušek, a tedy

\[b \gt d\].

Toto znaménko nám říká význam věc vlevo je větší než věc vpravo. Budeme opět řešit výměnu ovoce, tedy opět jeden předá \(n\) jablek tomu druhému, a teď potor! Čeho chceme dosáhnout? Chceme, aby měl dědoušek více než babka. Tedy chceme dosáhnout stavu

\[b – n \lt d + n\].

Vyřešme velmi podobným způsobem užitím ekvivalentních úprav tuto nerovnici

\[b – n + n \lt d + n + n\]

\[b \lt d + 2n\]

\[b – d \lt d – d + n + n \]

\[b – d \lt 2n \]

\[\frac{b-d}{2} \lt n \].

Dosaďme nyní původní hodnoty:

\[\frac{10-3}{2} \lt n \]

\[\frac{7}{2} \lt n \]

\[3,5 \lt n \].

Vidíme tedy, že \(n\) musí být alespoň \(3,5\) jablka, tedy pokud chceme zachovat celá jablka, zaokrouhlíme nahoru[5]tohle je dost intuitivní krok, ale časem se ukáže, že je velmi důležitý i v dalších případech, kdy něco odhadujeme a stačí nám něco, co víme, že je určitě větší, ale víme s … Continue reading a dostaneme, že \(n\) musí být alespoň[6]tedy toto či větší číslo \(4\) celá jablka.

Poznámky pod čarou

Poznámky pod čarou
1 vzpomeňme si, proč můžeme – znak rovná se vyjadřuje stejnost, všechna \(p\) tedy můžeme nahradit \(10\)
2 omlouvám se tímto všem dyslektikům
3 Například mám-li rovnost \(1 + 1 = 2\) a na pravou stranu rovnice přidám třeba \(1 + 1 = 2 + 7\) ihned vidím, že už rovnost neplatí, neprovedl jsem tedy ekvivalentní úpravu.
4 Ano, mohu takto řetězit rovnosti.
5 tohle je dost intuitivní krok, ale časem se ukáže, že je velmi důležitý i v dalších případech, kdy něco odhadujeme a stačí nám něco, co víme, že je určitě větší, ale víme s jistotou, že máme třeba něco ještě většího, tedy jistě víme, že i to ještě větší je větší
6 tedy toto či větší číslo

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *