Domácí úkol a zajímavé nevyřešené problémy

Vyřešte rovnici \(5 = \frac{2}{x+3}\).

Mějme funkci \(y = \frac{2}{x+3}\). Nakreslete její graf, napište definiční obor a obor hodnot. Dále rozhodněte, jestli je prostá.

Najděte inverzní funkci k funkci \(y = \frac{2}{x+3}\), nakreslete její graf, napište její definiční obor a její obor hodnot. Dále rozhodněte, jestli je prostá.


Nevyřešené problémy
Mějme nějaké celé kladné číslo. Pokud je sudé, vydělíme ho dvěma, pokud liché, vynásobíme ho třemi a přičteme jedničku. Pokud máme např. číslo \(3\), tedy číslo liché, máme jej vynásobit trojkou, tedy dostaneme \(3 \cdot 3 = 9\) a pak přičteme jedničku, takže \(9+1 = 10\). Dostali jsme sudé číslo. To máme vydělit dvěma, takže dostáváme \(10/2 = 5\). Dostali jsme tedy liché číslo. Opět tedy vynásobíme trojkou a přičteme jedničku, tedy \(3 \cdot 5 +1 = 16\).
To je sudé číslo, tedy vydělíme dvěma \(16/2 = 8\). Opět dělíme dvěma \(8/2 = 4\), opět dvěma \(4/2 = 2\) a opět dvěma \(2/2 = 1\).

Dostali jsme se k číslu \(1\). Otázka, na kterou nikdo nezná odpověď, je: Začnu-li libovolným číslem, dostanu se tímto algoritmem vždy k číslu \(1\)? Tento problém se jmenuje Collatzova domněnka.



Spousty věcí také nevíme o prvočíslech. Mějme libovolné sudé celé číslo větší než \(2\). Nejmenším takovým je číslo \(4\). Nyní se ho pokusíme zapsat jako součet dvou prvočísel. Máme \(4 = 2+2\). Dále \(6\) můžeme zapsat jako \(6 = 3+3\) a pak \(8 =5+3\), \(10 = 5+5\), … Jestli každé sudé jsme schopni zapsat jako součet dvou prvočísel, nevíme. Tento problém se jmenuje Goldbachova domněnka (anglicky Goldbach conjencture).
Zamyslete se, proč nemůžeme zapsat každé liché číslo větší než \(3\) jako součet dvou prvočísel.



Jako poslední problém uvedeme součet třetích mocnin. Sčítejme tři celá (můžou být kladná i záporná) čísla na třetí. Může se nám někdy stát, že vyjde číslo \(29\)? Ano, protože \(3^3+1^3+1^3 = 27+1+1 = 29\). Může se nám stát, že vyjde číslo \(30\)? To je už asi tak miliardkrát těžší otázka a odpověď je ano, protože \( (−283059965)^3 +(-2218888517)^3 + 2220422932^3 = 30\).
Může se nám stát, že vyjde číslo \(114\)? To opět nikdo neví.


Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *