Až moc formální řešení diferenciální rovnice

 

Nutné předešlé znalosti:
Základní znalost derivací, derivace složené funkce, základní znalost integrování

Disclaimer:
Neukážeme ÚPLNĚ nejformálnější postup, ale ukážeme postup podstatně formálnější, než jak je běžně ukazován v učebnicích fyziky. Nebudeme nikde násobit žádným dx, ale do úplné formálnosti bude chybět diskuse, kde přesně jsou naše řešení definována.

Pro jistotu si nejprve napíšeme, co budeme přesněji potřebovat.

Začněme derivací složené funkce. Tj. mějme funkce \(f(x): \mathbb R \rightarrow \mathbb R, g(x): \mathbb R \rightarrow \mathbb R\) a vytvořme složenou funkci \(g(f(x)): \mathbb R \rightarrow \mathbb R\). Pro příklad nechť \(f(x) = 4x\) a \(g(x) = \sin(x)\). Potom \(g(f(x)) = \sin(4x)\). Jak takovou funkci zderivovat?

Postup je jednoduchý, slovně se často zadává takto: Zderivujme vnější funkci a vynásobme ji derivaci vnitřní. Neslovně to vypadá následovně:
$$ (f(g(x)))’ = f'(g(x)) \cdot g'(x). $$

Odtud tedy hned dostáváme, že \( (\sin(4x))’ = cos(4x) \cdot 4\).

Znalost, jak derivovat složené funkce, nám pomůže k výpočtu libovolného integrálu typu \(\displaystyle \int f(g(x)) \cdot g'(x) \mathbb d x\). Platí totiž, že
$$\displaystyle \int f(g(x)) \cdot g'(x) \mathbb d x\ = F(g(x))+c, $$

což snadno dokážeme.

Věta: Nechť \(f, g\) jsou reálné funkce jedné proměnné (pro jednoduchost spojité a diferencovatelné na celém \(\mathbb R\)), nechť \(F\) je primitivní funkcí \(f\) (tj. derivace \(F\) je rovna \(f\)) a nechť \(c \in \mathbb R\).
Potom
$$\displaystyle \int f(g(x)) \cdot g'(x) \mathbb d x\ = F(g(x))+c $$


Důkaz: Zderivujme \(F(g(x))+c\). Dostáváme
\( (F(g(x)+c)’ = (F(g(x))’ = F'(g(x)) \cdot g'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x)\), což je přesně náš integrand, a tím je tedy důkaz hotov.

 

Nyní si představme, že máme objekt, který padá někde na Zemi. Není od věci předpokládat, že na něj působí gravitační síla. Ztěžme si však trochu práci a předpokládejme, že na tento objekt působí i odporová síla, která je přímo úměrná rychlosti tohoto objektu.

Než sestavíme diferenciální rovnici modelující tento příklad, připomeňme si několik fyzikálních pravidel. Nejprve budeme potřebovat vědět, že síla působící na objekt se dá spočítat jako hmotnost tohoto objektu krát zrychlení tohoto objektu. Tj. \(F = ma\), kde \(F\) je síla, \(m\) hmotnost a \(a\) zrychlení.

Pokud na objekt působí více sil, tyto síly se musí vektorově sečíst.

V našem případě tedy sílu působící na objekt můžeme napsat jako \(F = ma\), kde \(a\) je zrychlení, které se pořád mění, jde tedy o funkci v čase, nikoliv o konstantu.

Zároveň ale víme, že na něj působí směrem dolů síla gravitační, kterou můžeme vyjádřit jako \(mg\), kde \(g\) je gravitační zrychlení. A směrem nahoru na něj působí odporová síla, kterou můžeme vyjádřit jako \(-k \cdot v\), kde \(k\) je nějaká konstanta úměrnosti. Znaménko minus píšeme, protože tyto síly jsou v opačném směru.

Takže nyní jsme došli k tomu, že síla působící na objekt je \(F = mg – kv\).
Porovnáme-li to s předešlým výsledkem, dostáváme, že \(ma = mg-kv\). Důležité je si zde uvědomit, že \(a\) i \(v\) jsou (dvě různé) funkce času. My bychom potřebovali však mít jen jednu funkci. Uvědomme si tedy, že zrychlení můžeme chápat jako míru toho, jak moc se změní rychlost a pišme, že \(a = \frac{\mathbb d v}{\mathbb d t}\).

Dostáváme tedy konečně rovnici, kterou máme řešit:
$$ m \frac{\mathbb d v}{\mathbb d t} = mg – kv$$

Je konvencí mít u nejvyšší derivace jedničku, vydělme tedy obě dvě strany hmotností:
$$ \frac{\mathbb d v}{\mathbb d t} = g – \frac{k}{m}v$$

A nakonec pro přehlednost nepišme \(\frac{\mathbb d v}{\mathbb dx}\), ale místo toho jen \(v'(t)\):
$$ v'(t) = g – \frac{k}{m}v$$

Nyní nebudeme násobit žádnými \(\mathbb d x\) apod., ale obě dvě strany rovnice vydělíme celou pravou stranou, dostáváme tedy:

$$ \frac{1}{g – \frac{k}{m}v} v'(t) = 1$$

Teď zintegrujme obě dvě strany podle \(t\):
$$\displaystyle \int \frac{1}{g – \frac{k}{m}v} v'(t) \mathbb d t = \displaystyle \int 1 \mathbb d t$$

Teď je zásadní si uvědomit, že levá strana se dá zapsat v tomto tvaru: \(\displaystyle \int f(v(t)) v'(t) \mathbb d t\), kde \(f(x) = \frac{1}{g – \frac{k}{m}x}\). Takový integrál ale umíme řešit! Jeho řešením je \(I(v(t))\), kde \(I(x) = \displaystyle \int f(x) \mathbb d x\).

Musíme tedy vyřešit integrál \(I = \displaystyle \int \frac{1}{g – \frac{k}{m}x} \mathbb d x\). Jak ale na něj? Samozřejmě opět bez divných manipulací s \(\mathbb d x\).

Na první pohled to působí, že nemůžeme použít to, co jsme se naučili o integraci funkcí tvaru \(f(g(x)) g'(x)\), ale co když budeme urputní a budeme to chtít použít i zde?

Momentálně můžeme maximálně napsat, že \(I(x) = \displaystyle \int h(j(x)) \mathbb d x\), kde \(h(x) = \frac{1}{x}\) a \(j(x) = g – \frac{k}{m} x\). My bychom ale spíše chtěli mít \(I(x)_{different} = \displaystyle \int h(j(x)) \cdot j'(x) \mathbb d x\). Zkusme dosadit a uvidíme, co se změnilo: \(I(x)_{different} = \displaystyle \int \frac{1}{g – \frac{k}{m}x} \cdot (-\frac{k}{m}) \mathbb d x\). Vidíme tedy, že máme navíc nějakou konstantu – pokud tou hned celý integrand vydělíme, neuděláme nic kriminálního, takže můžeme přepsat náš integrál na:
$$I(x) = -\frac{m}{k} \displaystyle \int \frac{1}{g – \frac{k}{m}x } \cdot (-\frac{k}{m}) \mathbb d x $$
jehož výsledek rovnou napíšeme (jde pořád o aplikování stejné věty):
$$I(x) = -\frac{m}{k} \cdot \ln(g-\frac{k}{m}x) $$

Vrátíme-li se k naší rovnici \(\displaystyle \int \frac{1}{g – \frac{k}{m}v} v'(t) \mathbb d t = \displaystyle \int 1 \mathbb d t\), tak dostáváme, že \(I(v(t)) = t+c\) neboli \(-\frac{m}{k} \cdot \ln(g-kv) = t+c\). Proveďme nyní sérii úprav
$$-\frac{m}{k} \cdot \ln (g-\frac{k}{m}v) = t+c \\ \ln(g-\frac{k}{m}v) = \frac{-kt}{m}+c \\e^{\frac{-kt}{m}+c } =g-\frac{k}{m}v \\ v = \frac{mg}{k}-c\frac{m}{k}e^{\frac{-kt}{m}} $$

Máme tedy konečně naše řešení! Bylo by však pěkné zbavit se oné konstanty \(c\). K tomu budeme potřebovat tzv. počáteční podmínku. Předpokládejme, že v čase nula byla počáteční rychlost rovna \(v_0\) neboli \(v(0) = v_0\). Dosaďme to do našeho řešení a získáváme \(v_0 = \frac{mg}{k}-c\frac{m}{k}\). Odtud vyjádříme \(c\) a dostáváme \(c = g-\frac{k v_0}{m}\), což nám po dosazení zpět do našeho \(v\) dává:

$$v = \frac{mg}{k}-(g-\frac{k v_0}{m})\frac{m}{k}e^{\frac{-kt}{m}} \\ v = \frac{mg}{k}-(\frac{mg}{k}+v_0)e^{\frac{-kt}{m}}$$

Vidíme, že čím déle budeme čekat (tedy čím větší bude \(t\), což je čas), tím rychlejš bude těleso padat. Toto těleso ale nebude za libovolně dlouhou dobu padat libovolně rychle, nýbrž číslo \(e^{\frac{-kt}{m}}\) bude pro čím dál tím větší \(t\) čím dál tím menší, až pro \(t \rightarrow \infty\) bude rovno nule. Maximální rychlostí, které těleso může dosáhnout, bude tedy \(\frac{mg}{k}\).

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *