Intervaly (základní)

Ahoj, tento malý článek je věnován základním intervalům a jejich prvotnímu pochopení. Článek je založen na jednom domácím úkolu, kde je potřeba v několika případech rozebrat nějaké možnosti. 

“Patří do” a “nepatří do”

Pro tyto účely nám slouží symbol \(\in\) a \(\notin\). Jednoduše můžeme říci, když máme třeba množinu \(\mathbb{R}\), následující věty:

    • \(3 \in \mathbb{R}\) – Trojka patří do množiny reálných čísel.
    • \(x \notin \mathbb{N}\) – Proměnná \(x\) nepatří do množiny přirozených čísel.

Zápis intervalu, závorky

Intervalem rozumíme jednoduše nějaký rozsah, který má hranice. Pokud bychom chtěli říci třeba všechna čísla od jedničky do desítky z reálných čísel, potom bychom měli pro \(x \in \mathbb{R}\) interval \( x \in \left[1;10\right]\). Do takového intervalu patří úplně všechno reálné mezi tutěmi hranicemi; tedy patří tam \(1,5\), \(\pi\) nebo třeba \(\sqrt(2)\). Ale samozřejmě i čísla jako \(3\) nebo \(10\) samotná. 

Chtěli-li bychom zapsat interval, kam patří takto úplně všechno reálné, ale ne samotné krajní body (to se opravdu může hodit), napíšeme interval trošku jinak – \(x \in \left(1;10\right)\). Takovému intervalu se říká otevřený interval, intervalu v odstavci výše, kam dané body patří, se říká uzavřený interval. 

Je samozřejmě možné do intervalu zahrnout pouze jednu stranu, prostě třeba aby jednička v intervalu byla, ale desítka ne, potom pro \(x \in \mathbb{R}\) máme interval \(x \in [1;10)\). Takovému intervalu říkáme polouzavřený interval

Další možnost zápisu intervalu

Intervaly je možné zapsat vícero způsoby, další vypadá například takto.

$$ \{ x\in\mathbb{R}; -3 \leq x \leq 4 \} $$

Co mi takový zápis říká? Jednoduše je třeba se podívat a začít číst klasicky zleva, jako když čteme běžný text. Tedy postupně: \(x\) patří do množiny reálných čísel tak, že leží mezi \(-3\) a \(4\). Je třeba si uvědomit, že obě tato čísla do daného intervalu patří, takže bychom mohli přepsat jako:

$$ x\in\mathbb{R}; x\in\left[-3;4\right]$$

Jednotlivé příklady z daného úkolu

Vidíme, že první interval jsme načali již v minulém odstavci, stejným způsobem se teď podívejme na další.

V příkladu b vidíme, že budeme postupovat úplně stejně jako v případě řešení příkladu a, nicméně s tím rozdílem, že symbol \(\leq\) je najednou symbol \(\lt\) mezi \(-8\) a proměnnou \(x\). Co to pro nás znamená? Můžeme si jednoduše říci (opět budeme klasicky číst): x je větší než \(-8\) a menší nebo roven \(-2\). Tedy pokud je větší, znamená to, že není roven. Tohle je třeba si hodně uvědomit – tedy číslo \(-8\) do tutoho intervalu nebude patřit. Můžeme tedy psát \(x\in(-8;-2]\). 

Stejným způsobem se podíváme i na příklad c, zde vidíme, že symbol pro je menší nebo rovnoje menší je jen prohozený. Tedy vidíme, že \(x\) je větší nebo rovno \(6\) a je menší než \(10\). To pro nás znamená, že desítka do našeho intervalu nepatří (\(x\) je prostě menší než desítka), budeme tedy psát \(x\in[6;10)\).

V posledním příapdě, tedy úkolu d, budeme postupovat též úplně stejně. Tedy vidíme, že v obou případech je tam pouze symbol pro je menší, tedy: \(x\in (-2;-1)\).

Další příklady z úkolu

Cílem je přepsat následující případy jako intervaly.

V příkladě a vidíme, že se jedná o jednoprvkovou množinu s prvkem \(3\). Do intervalu bychom to mohli přepsat jako \([3;3]\).

V příkladu b vidíme, že se jedná o celou množinu reálných čísel \(\mathbb{R}\). To můžeme zapsat jako \(\left(-\infty;\infty\right)\). Pozor, u nekonečna, protože to není číslo, nemůžeme psát, že tam patří, prostě nekonečno tam nepatří, není to číslo!

V příkladu si musíme dát obzvlášť pozor na to, že se pohybujeme pouze v množině celých čísel \(\mathbb{Z}\). Nicméně to pro nás nic nemění, interval bude vypadat pro \(x\in\mathbb{Z}\) jako \(x\in(1;\infty)\). V takovém intervalu však první prvek bude \(2\). Jednička tam nepatří a následující vyšší je prostě dvojka.

V příkladu d už není žádná zrada, prostě jen pozor na to, že tam čtyřka patří: pro \(x\in\mathbb{R}\) platí \(x \in [4;\infty)\). Opět pozor, u nekonečna zase kulatá závorka, protože nepatří do množiny.

Příklad e je podobného ražení jako příklady v předchozí sekci, tedy budou tam všechna čísla mezi dvojkou a trojkou, přičemž dvojka do intervalu patří a trojka nikoliv. Tedy pro \(x\in\mathbb{R}\) platí \(x\in[2;3)\).

Závěrem

Bylo by dobré si ty intervaly i nakreslit, to v případě potřeby můžeme udělat třeba online.

 

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *