Zobrazení

Dobrý den, přátele, jmenuji se Ivan a jsem nováček na stránkách epických matematických setkání. Dneska chtěl bych s Vámi probrat, co je zobrazení, jak ho představujeme a kde se s nim můžeme setkat.

Abychom mohli pochopit koncept zobrazení, představíme 2 množiny – \(A\) a \(B\):

Obrázek 1.
Obrázek 1.

Každému prvku z množiny \(A\) přiřadíme jeden prvek z množiny \(B\).

Obrázek 2.

Formálně můžeme napsat zobrazení ve tvaru:
$$f:A \to B\quad nebo\quad A\xrightarrow{f}B, \: kde\: f\:je\: zobrazení.$$
Množinu \(A\) můžeme také označit jako definiční obor, množinu \(B\) jako obor hodnot.
Obraz zobrazení \(f\) je množina všech prvků množiny \(B\),které dostaneme zobrazením prvků množiny \(A\). Můžeme to zapsat ve tvaru:
$$ Im f = \left\{b \in B \:\exists a \in A; \:f(a)=b\right\},\:kde\:Imf\:je\:obraz(Im\:jako\:Image) $$
Jak vidíte na obrazku 2 v množině \(B\) nám zbyl jeden prvek, označený červenou šipkou, který nedostaneme zobrazením žádného prvku množiny \(A\), proto tento prvek do obrazu zobrazení Im f nepatří.
Zkuste si zamyslet jestli na dalších dvou obrazcích jsou zobrazení? Pokud ano/ne, tak proč?
Příklad 1.

V tomto příkladě se o zobrazení nejedná, protože prvnímu prvku z množiny \(A\) jsou přiřazené dva prvky z množiny \(B\).
Příklad 2.

Podle naše definice každému prvku z množiny \(A\) musí byt přiřazen prvek z množiny \(B\), což není splněno u prvního prvku množiny \(A\), takže uvedený příklad není zobrazením.

$$\rule{30cm}{0.4pt}$$

Podtypy zobrazení.
Pojem zobrazení dal můžeme rozdělit na několik “podtypu”. Zkusíme je probrat postupně.

Injekce neboli monomorfismus je zobrazení při kterém jeden prvek z množiny \(B\) je zobrazením pouze jednoho prvku množiny \(A\), takže není zobrazením žádného dalšího prvku množiny \(A\). Jinými slovy, nejsou žádné dva prvky množiny \(A\), které mají stejný obraz v množině \(B\). Šipka na obrazku vpravo jenom zvýrazňuje, že v množině \(B\) můžou byt prvky, které nejsou obrazem žádného prvku množiny \(A\).
Formalně můžeme zapsat injekci:
$$ \forall a_{1},a_{2} \in A: a_{1} \ne a_{2} \Rightarrow f(a_{1})\ne f(a_{2}) $$
$$\rule{30cm}{0.4pt}$$

Surjekce neboli epimorfismus znamená, že každý prvek z množiny \(B\) je obrazem nějakého prvku množiny \(A\), takže není žádný prvek množiny \(B\), který není obrazem prvků množiny \(A\). Šipka jenom ukazuje na to, že jeden prvek množiny \(B\) muže byt obrazem zároveň dvou prvku množiny \(A\).
Surjekce formalně:
$$ \forall b \in B \ \exists a \in A \ f(a)=b$$
$$\rule{30cm}{0.4pt}$$

Bijekce neboli izomorfismus je zobrazením splňující zároveň podmínky pro injektivní a surjektivní zobrazení, takže každý prvek z množiny \(B\) je obrazem jenom jednoho prvku v množině \(A\) a zároveň v množině \(B\) není prvek, který by nebyl obrazem prvku množiny \(A\).

$$\rule{30cm}{0.4pt}$$

Grupy
Navazuje na článek o grupách, zkusím dát příklady na zobrazení a jeho podtypy.
V matematice existuje koncept zobrazení(resp. podtyp), který se jmenuje homomorfismus.
Mejme dvě grupy a zobrazení z jedné grupy do grupy druhé.
$$(G,\star) \ a \ (H,\diamond),\ kde \ \star, \diamond \ označují \ dvě \ zvolené \ operace.$$
$$f:G \to H$$

Pokud zobrazení splňuje podmínku:
$$\:\forall x, y \in G \qquad f(x \star y) = f(x) \diamond f(y);\quad \forall x, y \in G$$
jedna se o homomorfismus.
Co to znamená?
Řekneme, že v první grupě G výsledek operace
$$\ x \star y = z \quad (1) $$
Chtěli bychom aby platilo :
$$ f(x) \diamond f(y)= f(z) \quad (2)$$
V takovém případě podle (1) místo pravé části(z) dosadíme levou část rovnice do (2) a dostaneme:
$$ f(x) \diamond f(y)= f(x \star y)$$
Což je definicí homomorfismu.

Příklad 1.
Mejme dvě grupy ve kterých je definovaná operace sčítání a zobrazení \(f\).
$$( \mathbb{R},+) \ a \ ( \mathbb{R^{+}},\cdot), \ f(x)=2^x$$
Zkusíme dokázat že danné zobrazení je homomorfismem.
$$ f(x+y)=2^{x+y}$$
$$ f(x) \cdot f(y)= 2^x \cdot 2^y$$
a z vlastnosti exponenty vyplývá
$$2^{x+y}= 2^x \cdot 2^y$$

Příklad 2.
$$( \mathbb{R^{+}} ,\cdot) \ a \ ( \mathbb{R},+), \ f(x)=\log_{10}(x)$$
a z vlastností logaritmu vyplývá
$$\log_{10}(a\cdot b)=\log_{10}(a)+\log_{10}(b)\quad \forall a,b \in \mathbb{Z}$$
Napíšeme konkrétní příklad:
$$a=10^3, b= 10^4$$
$$\log_{10}(10^3\cdot 10^4)=log_{10}(10^7)=7$$
$$\log_{10}(10^3)+\log_{10}(10^4)=3+4=7$$
Což znamená, že naše zobrazení je homomorfismem.

Příklad 3.
Mejme dvě grupy ve kterých jsou definované operace sčítání a násobení a zobrazení f.
$$( \mathbb{R^{+}} ,+) \ a \ ( \mathbb{R},+), \ f(x)=x^2$$
$$f(x+y)=(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$$
$$f(x)+f(y)=x^2+y^2$$
ALE
$$x^2+2xy+y^2 \ne x^2+y^2$$
Proto zobrazení $$f(x)=x^2$$ není homomofismem.

Příklad 4.
Vezmeme druhou grupu s jinou operaci než sčítání, například sčítání \(\bmod 2\) a označime ji jako plus v kolečku:
$$( \mathbb{Z} ,+) \ a \ ( \mathbb{Z_{2}},\oplus), \ f(x)= x \bmod \ 2 $$
$$f(x+y) = (x+y) \bmod\ 2 $$
$$f(x) \oplus f(y)= x \bmod \ 2 \oplus y \bmod \ 2 $$
Konkretně:
$$x=7, \ y=3$$
$$f(7+3)= f(10)= 10 \bmod \ 2=0$$
$$f(7) \oplus f(3)=1 \oplus 1= (1+1) \bmod \ 2 = 0$$
A proto v daném případě zobrazení homomorfismem je.

$$\rule{30cm}{0.4pt}$$

Pokud se podíváme na naše příklady nahoře, můžeme najít hezké příklady každého z uvedených podtypů zobrazení.

$$\rule{30cm}{0.4pt}$$

$$ ( \mathbb{R^{+}} ,\cdot) \ a \ ( \mathbb{R},+), \ f(x)=\log_{10}(x)- příklad \ monomorfismu.$$
Pokud se jedná např. o injekci, každý prvek z množiny \(\mathbb{R}\) je zobrazením pouze jednoho prvku z množiny \(\mathbb{R^{+}}\).
Důkaz.
Zkusíme udělat důkaz sporem. Řekneme, že můžeme dostat stejné obrazy nestejných prvků z \(\mathbb{R^{+}}\), pokud dokažeme opak – máme injekci.
$$ x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R^{+}}: x_{1} \ne x_{2}$$
$$ \log_{10}(x_{1})= \log_{10}(x_{2})$$
Ale logaritmy o stejném základu které jsou rovné, by měly mít i stejné argumenty, proto \(x_{1}=x_{2}\)
Ale to je spor s naším předpokladem, že \(x_{1}\) a \(x_{2}\) jsou různá čísla.
Proto pomocí uvedeného zobrazení nestejných prvků nikdy nedostaneme dva stejné obrazy, z čehož plyne, že se jedná o injekci neboli monomorfismus.

$$\rule{30cm}{0.4pt}$$

$$ ( \mathbb{Z} ,+) \ a \ ( \mathbb{Z_{2}},\oplus), \ f(x)= x \bmod \ 2 – příklad \ epimorfismu.$$
Konkretně v daném případě v množině \(\mathbb{Z}\) dokažeme najit někonečně mnoho čísel, jejichž zobrazením dostaneme jedno ze dvou čísel v množině \(\mathbb{Z_{2}}\).
$$x_{1} = 2, x_{2}= 5,x_{3}=4$$
$$f(x_{1}) \oplus f(x_{2})=f(x_{1} + x_{2})$$
$$ (2 \bmod \ 2 + 5 \bmod \ 2) \bmod \ 2=(2+5) \bmod \ 2 $$
$$(0+1) \bmod \ 2= 7 \bmod \ 2 $$
$$ 1 \bmod \ 2 = 1$$
$$ 1 = 1$$
$$\\\\$$
$$f(x_{1}) \oplus f(x_{3})=f(x_{1}) + x_{3})$$
$$ (2 \bmod \ 2 + 4 \bmod \ 2) \bmod \ 2=(2+4) \bmod \ 2 $$
$$(0+0) \bmod \ 2= 6 \bmod \ 2 $$
$$ 0 \bmod \ 2 = 0$$
$$ 0 = 0$$

Což znamená, že každý prvek v množině \(\mathbb{Z_{2}}\) je obrazem nějakého prvku v množině \(\mathbb{Z}\), a proto zobrazení je surjekcí neboli epimorfismus.

$$\rule{30cm}{0.4pt}$$

$$ ( \mathbb{R},+) \ a \ ( \mathbb{R^{+}},\cdot), \ f(x)=2^x – příklad\ ismorfismu.$$
Podiváme se, jaké podmínky splunuje zobrazení \(f(x)=2^x\).
Pokud naše zobrazení je injekcí, tak \(x_{1} \ne x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \ne f(x_{2}) \)
Zase zkusíme udělat důkaz sporem. Mejme nestejné prvky z \(\mathbb{R}\).
$$ x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}: x_{1} \ne x_{2}$$
Zase předpokladáme, že můžeme dostat stejné obrazy v \(\mathbb{R^{+}}\) nestejných prvků z \(\mathbb{R}\).
$$ 2^{x_{1}}= 2^{x_{2}}$$
Ale na obou stranach mame stejné základy mocniny, takže se rovnat musejí i exponenty:
$$ x_{1}=x_{2}$$
Což nesedí s předpokladem, takže máme spor, \(x_{1} \ne x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \ne f(x_{2}) \)
Což říká o injektivním zobrazení.
Aby zobrazení bylo surjektivním, každý prvek z \( \mathbb{R}\) by měl byt obrazem nějákého prvku z \(\mathbb{R^{+}}\). V podstatě, to znamená že pomocí libovélného prvku z \(\mathbb{R}\) dokažu najít jakykoliv prvek v \(\mathbb{R^{+}}\).
Mame rovnici \(f(x)=2^x\) a zkusíme vyjadřit \(x\)
$$ \log_{2}(f(x))=x$$
Což nám říká, že pomocí zobrazení \(f(x)\) a zobrazení \(\log\) dokažeme najit jakykoliv prvek \(x\) z množiny \(\mathbb{R}\) který má svůj obraz v množině \(\mathbb{R^{+}}\).
V takovém přápadě zobrazení splnuje zaroven podminku i pro surjektivní zobrazení, takže se je jedná o zobrazení bijektivní , neboli izomorfismus.

$$\rule{30cm}{0.4pt}$$

Pokud mame homomorfismus z grupy \(G \) do stejné grupy \(G\), říkáme tomu endomorfismus.
Pokud endomorfismus splňuje podmínky pro bijektivní zobrazení, říkáme tomu automorfismus.

Jeden komentář u “Zobrazení”

  1. Díky za článek 🙂 Konečně mám trošku jasno v těch různých zobrazeních (surjektivní, bijektivní etc.) 🙂

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *