Diskrétní diferenciální počet



K této tematice je vhodno znát derivace a integrály, neboť motivací k některým vzorcům bude touha po podobnosti s derivačními/integrálními vzorečky. Není to však znalost nutná.


Možná už jste někdy viděli tento vzorec
$$ 1+2+…+n = \frac{n(n+1)}{2}, $$

který se často dokazuje indukcí. Dokonce ani není tak nesnadné jej odvodit, pokud nevíme, jak má vypadat. Chtějme např. sečíst všechna čísla od \(1\) do \(99\). K tomu nám pomůže chytré přeskládání, tj. můžeme si to představit jako \( (1+99)+(2+98)+…+(49+51)+50\), což je to samé jako \(49 \cdot 100+50\), což dále můžeme upravit takto: \(49 \cdot 50 \cdot 2 +50 = 50 \cdot (98+1) = 50 \cdot 99 = \frac{99 \cdot 100 }{2}\), což přesně kopíruje již napsaný vzorec pro \(n = 99\).

Jak bychom ale odvodili vzorec pro
$$ 1^2+2^2+…+n^2,$$
to je otázkou složitější. Pojďme si vytvořit aparát, který nám s tím velmi pomůže.

Diference posloupnosti

Posloupností budeme rozumět libovolná po sobě jdoucí čísla, přesněji řečeno jde o zobrazení z přirozených čísel do reálných čísel. Takovou posloupností např. může být \(1, 1, 1, 2, 1\). Nebo ji nemusíme zadávat výčtem, ale nějakým předpisem.

Např. předpis \(a_n = 2n\) chápeme tak, že postupně dosazujeme přirozená čísla za \(n\) a dostáváme \(n\)-tý prvek posloupnosti. V tomto případě je první prvek \(a_1 = 2 \cdot 1 = 2\), druhý \(a_2 = 2 \cdot 2 = 4\) atd. Padesátý třetí prvek je \(a_53 = 2 \cdot 53 = 106\).

Nyní si zaveďme operátor, který nám vrátí rozdíl mezi dvěma sousedními prvky posloupnost.

Definice: \(\Delta a_n = a_{n+1}-a_n\). Spočtěme si nějakou diferenci z této definice. Vezměme si třeba naší posloupnost \(a_n = 2n\), potom \(\Delta 2n = 2(n+1)-2n = 2n+2-2n = 2\), což není překvapivé, protože libovolné dva sousedící členy této posloupnosti jsou od sebe vzdáleny právě \(2\). V tomto případě byl výsledek „stejný“ jako při derivaci \(f(x) = 2x\) podle \(x\).

Vezměme si jinou posloupnost, např. \(a_n = n^2\). Její diference je \(\Delta n^2 = (n+1)^2-n^2 = n^2+2n+1-n^2 = 2n+1\). V tomto případě nám to vyšlo skoro „stejně“ jako derivace \(x^2\), kterážto vychází \(2x\).

Věta: Nechť \(c \in \mathbb R\) a \(a_n\) je posloupnost. Potom \(\Delta c \dot a_n = c \cdot \Delta a_n\).

Důkaz. \( \Delta c \dot a_n = c \cdot a_{n+1}-c \cdot a_n = c \cdot (a_{n+1}-a_n) = c \cdot \Delta a_n\).


Padající faktoriál


Definujme si padající faktoriál: \(x^\underline k = x(x-1)(x-2)…(x-k+1)\), takže např. \(5^\underline 3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\).

Mějme \(a_n =n^\underline k\). Jaká je diference této zajímavé posloupnosti?
\(\Delta n^\underline k = (n+1)^\underline{k}- n^\underline k = (n+1)n(n-1)…(n-k+2)-n(n-1)…(n-k+1)\), kde jsme jen rozepsali definici.

Nyní si všimněme, že můžeme vytknout a dostaneme \( n(n-1)…(n-k+2) \cdot (n+1-(n-k+1) ) = n(n-1)…(n-k+2) \cdot k\), ale celý výraz před \(k\) není nic jiného než \( n^\underline {k-1} \), tedy dostáváme \( \Delta n^\underline k = k \cdot n^\underline {k-1}\). To už přesně kopíruje derivaci \(x^k\).

Něco jako integrál


Nyní si definujme inverzi k diferenci, jinými slovy operátor, který nám vrátí posloupnost, na kterou jsme museli aplikovat operátor diference.

Definice: Nechť \(\Delta^{-1} a_n = A_n\), pokud platí \(\Delta A_n = a_n\).

Např. \(\Delta^{-1} 2n+1 = n^2\), protože \(\Delta n^2 = 2n+1\).

Nebo \(\Delta^{-1} n^\underline k = \frac{n^\underline{k+1}}{k+1}\)

Nyní ukažme, že inverzní diference má úzký vztah k sumě, resp. je to totéž!

 

Nejdůležitější věta tohoto článku


Věta: Pokud \(\Delta A_n = a_n\) (neboli \(\Delta^{-1} a_n = A_n\) ), potom \(\sum_{n = 1}^{m} a_n = A_{m+1}-A_1\), což často píšeme zkráceně jako \( \Delta^{-1} a_n \big |_{1}^{m+1} ( = A_{m+1}-A_1 ) \).

Všimněme si, že to téměř kopíruje pravidlo ohledně určitého integrálu (totiž, že \(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \ \mathbb d x = F(a)-F(b)\), kde \(F\) je primitivní funkcí k funkci \(f\) ).

Důkaz. Máme dokázat něco o výrazu \( \sum_{n = 1}^{m} a_n \) a předpokládáme, že \(\Delta A_n = a_n\), dosaďme to tedy do naší sumy, dostáváme \(\sum_{n=1}^{m} \Delta A_n = \sum_{n=1}^{m} A_{n+1}-A_n \) a postupně dosazujeme za \(n\) od \(1\) do \(m\), dostáváme tedy \( (A_2-A_1)+(A_3-A_2)+…+(A_{m+1}-A_m) = A_{m+1}-A_1\), neboť všechny ostatní členy se nám odečetly. Tím je důkaz hotov.

Konečně odvození

 

Pojďme teď odvodit vzorec pro \(\sum_{n=1}^{m} n\). Všimněme si, že je to to samé jako \(\sum_{n=1}^{m} n^\underline 1\). Máme tedy \(a_n = n = n^\underline 1\), odkud plyne, že \(A_n = \frac{1}{2}n^\underline 2\). Podle nyní dokázané věty tedy můžeme psát \( \sum_{n=1}^{m} n = \sum_{n=1}^{m} n^\underline 1 = \Delta^{-1} n ^\underline 1 \big |_{1}^{m+1} = \frac{1}{2} n^\underline 2 \big |_{1}^{m+1} = \frac{1}{2} n(n-1) \big |_{1}^{m+1} = \frac{1}{2} (m+1)(m+1-1)- \frac{1}{2} 1(1-1) = \frac{m(m+1)}{2} \)

Nyní zkusme přijít na vzorec pro \(\sum_{n=1}^{m} n^2\)! A už narážíme na problém, protože by se nám líbilo mít padající faktoriál, nikoliv druhou mocninu.

To ovšem není takový problém, neboť \(n^ \underline 2 = n(n-1) = n^2-n\), odkud máme \(n^2 = n^\underline 2 +n\) čili tento problém se mění na schopnosti sečíst posloupnosti \(n^\underline 2\) a \(n\), kde první spočteme podle námi odvozené věty a druhou již známe.

Dostáváme tedy \(\sum_{n=1}^{m} n^2 = \sum_{n=1}^{m} (n^ \underline 2 +n) = \sum_{n=1}^{m} n^\underline 2 + \sum_{n=1}^{m} n\). Nyní tedy použijeme pro padající faktoriál to, co jsme se již naučili. První si musíme uvědomit, že \(A_n = \frac{n^\underline 3}{3}\), a potom si vzpomenout (jak jsme již odvodili), že \(\sum_{n=1}^{m} n = \frac{m(m+1)}{2}\).

Čili dostáváme \(\sum_{n=1}^{m} n^2 = \sum_{n=1}^{m} n^\underline 2 + \sum_{n=1}^{m} n = \frac{(m+1)^\underline 3}{3} -1 \cdot 0 \cdot (-1) +\frac{m(m+1)}{2} = \frac{(m+1)m(m-1)}{3}+\frac{m(m+1)}{2}\).

V tomto tvaru bychom mohli výsledek nechat, ale pár úpravami jej můžeme o něco zkrášlit: \( \frac{(m+1)m(m-1)}{3}+\frac{m(m+1)}{2} = \frac{2 (m+1)m(m-1) +3m(m+1)}{6} = \frac{m(m+1)(2(m-1)+3}{6} = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6} \).

Analogicky bychom pro \(\sum_{n=1}^{m} n^3\) vzali \(n^ \underline 3 = n(n-1)(n-2) = n^3-6n+2\) a vyjádřili \(n^3 = n^ \underline 3 + 6n-2\) a udělali opět tři odpovídající sumy.

Obdobným stylem se dá odvodit vzorec pro \(1^n+2^n+…+k^n\) pro libovolné přirozené \(n\). Jedinou nevýhodou je, že pokud chceme znát tento vzorec pro nějaké \(n\), musíme znát vzorce pro všechny předešlá přirozená čísla až do jedničky, takže si musíme všechny předešlé vzorce naší metodou odvodit.

Samozřejmě se náš postup dá aplikovat i na jiné posloupnosti, např. \(1+3+…+2n-1\) atd.

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *