Než si budeme definovat nějaké pojmy, pojďme se podívat na nějaké rozdíly v grupoidech \( (\mathbb{Z}; +)\) a \( (\mathbb{Z}; -)\). Když si vezmu libovolné tři prvky z prvního grupoidu (vyberme např. \(1,2, – 3\) pro ilustraci), tak platí, že \(1+(2-3) = (1+2)-3\). Vybereme-li ty samé tři prvky z druhého grupoidu, dostáváme \(1-(2-3) \neq (1-2)-3\) (neboť \(1-(2-3) = 1-(-1) = 2\), zatímco \( (1-2)-3 = -4.\) Tedy v prvním grupoidu jsme mohli přeskupit závorky, v druhém ale nikoliv. Když takto závorky můžeme přeskupit, říkáme, že zde platí tzv. asociativní zákon.
Def. Semigrupy.1 Říkáme, že grupoid \( (G; \cdot)\) je semigrupa pokud platí asociativní zákon (o kterém budeme často mluvit jako o asociativitě), tedy pokud pro všechny \(a,b,c\) z \(G\) platí :
\(a \cdot (b \cdot c ) = (a \cdot b) \cdot c\).
Vidíme tedy, že první příklad z úvodu článku je (víme, že sčítání je asociativní operací) semigrupou, zatímco druhý nikoliv.
S1
Pokud máme grupoid zadaný tabulkou, buď si musíme projít všechny trojice \(a,b,c\) z dané množiny a zjistit, zda platí asociativita, nebo můžeme použít tzv. Lightův test asociativity, o kterém se zde dále zmiňovat nebudeme.
Mějme např. takovouto tabulku
Jde určitě o grupoid, neboť máme operaci uzavřenou na danou množinu. Nyní chceme rozhodnout, zda jde o semigrupu. Podívejme se, zda nenajdeme nějakou trojici, pro kterou neplatí asociativita.
Pojďme postupně. Díky tomu, že na diagonále máme prvky \(a,b,c\), tak vidíme, že např. \(a \cdot (a \cdot a) = a \cdot a = a\) a stejně tak \( (a \cdot a) \cdot a = a \cdot a = a\), takže zde máme asociativitu. Obdobně dostaneme, že \(b \cdot (b \cdot b) = (b \cdot b) \cdot b\) a \(c \cdot (c \cdot c) = (c \cdot c) \cdot c\).
Dále přemýšlejme, jestli platí (a místo \(a \cdot b\) apod. pišme už jen \(ab\)), že \(a(bc) = (ab)c\). Spočteme-li to, co máme v závorkách, dostaneme \(ab = cc\) a z tabulky máme \(c = c\), což jistě platí.
Trochu zrychleme. \(a(cb) = (ac)b \Rightarrow ac = bb \Rightarrow b = b\).
\(a(ba) = (ab)a \Rightarrow ac = ca \Rightarrow b =b \).
\(a(ca) = (ac)a \Rightarrow ab = ba \Rightarrow c = c \).
\(a(ab) = (aa)b \Rightarrow ac = ab \Rightarrow b = c\). Ale to neplatí. Pro tuto trojici tedy nemáme asociativitu, takže nyní víme, že daný grupoid není semigrupou.
S2
Nevíte-li, co je přesně funkce či jak se funkce skládají, tak je právě pro vás tento článek.
Abychom pořád nepočítali s čísly a náhodně vytvořenými tabulkami, zkusme se zamyslet o množině funkcí s operací skládání.
Uvažujme nějakou množinu funkcí s operací skládání a přemýšlejme, zda máme v první řadě grupoid a následně, zda máme grupoid s asociativitou, tedy zda máme semigrupu.
Naše množina vypadá takto \(F = \{f(x), g(x), h(x)\}\), kde
$$ f(x) = x, \\ g(x) = 1-\frac{1}{x}, \\ h(x) = \frac {1}{1-x}. \\ D(f) = \mathbb{R} – \{0,1\}, \\ D(g) = \mathbb{R}-\{0\}, \\ D(h) = \mathbb{R}-\{1\}.$$
Takto jsme zvolili definiční obory proto, že kdyby např. \(f(x)\) mělo za definiční obor celé \(\mathbb{R}\), tak bude existovat i \(f(0) = 0\) a v tomto bodě bychom nemohli skládat \(g\) společně s \(f\). Obdobně pro \(f\) a \(h\) v bodě jedna.
Je \( (F; \circ)\) grupoidem?
Abychom měli grupoid, musí být tato množina uzavřená na danou operaci. Pojďme tedy postupně. Co dostaneme, když složíme \( (f \circ f )(x)\)?
To je z definice skládání \(f(f(x)) = f(x) = x\), takže celkem triviálně dostáváme, že při složení funkce \(f\) samotné se sebou, dostáváme opět funkci \(f\), takže \(f \circ f \in F\).
Nyní složme \( (g \circ g)(x) = g(g(x) = g(1-\frac{1}{x})\). Co to znamená? To znamená, abychom se podívali na předpis funkce \(g(x)\) a všude tam, kde je v tom předpisu napsáno \(x\) musíme napsat \(1-\frac{1}{x}\). Dostáváme tedy \(g(1-\frac{1}{x}) = 1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}\).
Nyní bychom mohli býti poněkud zbrklými a říct, že nám vyšla funkce, kterou nemáme v naší množině. My tento výraz ale můžeme upravit, po převedení výrazu \(1-\frac{1}{x}\) na společný jmenovatel dostáváme, že \(1-\frac{1}{1-\frac{1}{x}} = 1 – \frac{1}{\frac{x-1}{x}}\). Dělení je převrácené násobení, takže dostáváme \(1 – \frac{1}{\frac{x-1}{x}} = 1-\frac {x}{x-1}\) a opět převeďme na společný jmenovatel \(1-\frac {x}{x-1} = \frac{x-1-x}{x-1} = \frac {-1}{x-1 } = \frac {-1}{x-1} \cdot \frac{-1}{-1} = \frac {1}{1-x} = h(x)\). Zlomkem \(\frac {-1}{-1}\) můžeme v klidu násobit, neboť je roven jedné.
Zjistili jsme tedy, že při složení \(g\) s funkcí \(g\) dostaneme funkci \(h\), tedy \(g \circ g \in F\).
Teď se podívejme na složení \( (h \circ h) (x)\). Z definice skládání tedy máme provést toto \(h(h(x)) = h(\frac{1}{1-x})\). Tento předpis mi říká – podívej se na funkci \(h\) a všude tam, kde je v jejím předpisu napsáno \(x\), piš místo něj \(\frac{1}{1-x}.\) Dostáváme tedy, že \(h(\frac{1}{1-x}) = \frac {1}{1-\frac{1}{1-x}}\). Opět musíme provést pár úprav, než rozhodneme, zda toto složení patří, či nepatří do množiny \(F\).
Opět převeďme na společný jmenovatel, pak převraťme zlomek a vynásobme jak čitatel, tak jmenovatel minus jedničkou: \(\frac {1}{1-\displaystyle \frac{1}{1-x}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{1-x-1}{1-x}} = \frac {1}{\displaystyle \frac{-x}{1-x}} = \frac {1-x}{x} = \frac {1-x}{-x} \cdot \frac{-1}{-1} = \frac{x-1}{x}\). To stále nevypadá jako nic z množiny \(F\). Ale uvědomme si, že platí toto \(\frac{x-1}{x} = \frac{x}{x}-\frac{1}{x} = 1-\frac{1}{x} = g(x)\), tedy vidíme, že \(h \circ h \in F\).
Nyní uvažujme (a trošku zrychleme) \( (f \circ g) (x) = f(g(x)) = f(1-\frac{1}{x}) = 1-\frac{1}{x}\). To je zjevně rovno právě \(g(x)\), tedy \(f \circ g \in F\).
Co \(f \circ h\)? \( (f \circ h) (x) = f(h(x)) = f(\frac{1}{1-x}) = \frac{1}{1-x}\). To je zjevně rovno právě \(h(x)\), tedy \(f \circ h \in F\).
Potom \( (g \circ f) (x) = g(f(x)) = g(x)\), což je zjevně rovno… \(g(x)\). Tedy \(g \circ f \in F\).
Potom \( (g \circ h) (x) = g(h(x)) = g(\frac{1}{1-x}) = 1-\frac{1}{\displaystyle \frac{1}{1-x}} = 1-\frac{1-x}{1} = 1-(1-x) = x = f(x)\), tedy \(g \circ h \in F\).
Pak \( (h \circ f) (x) = h(f(x)) = h(x)\), tedy \(h \circ f \in F\).
Nakonec \( (h \circ g)(x) = h(g(x)) = h(1-\frac{1}{x}) = \frac{1}{1-(1-\displaystyle \frac{1}{x})} = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x = f(x) \), tedy \(h \circ g \in F\).
Zapišme si vše, na co jsme přišli, do tabulky
\[ \begin {array} {c|ccc} \circ & f(x) & g(x) & h(x) \\ \hline f(x) & f(x) & g(x) & h(x) \\ g(x) & g(x) & h(x) & f(x) \\ h(x) & h(x) & f(x) & g(x) \\ \end {array} \]Super, máme tedy grupoid. Abychom měli semigrupu, museli bychom zkontrolovat všechny trojice a ověřovat u nich asociativitu – jen ukázat, že jde o grupoid, bylo celkem náročné. My jsme si ale zde ukázali, že skládání funkcí je vždy asociativní.
S3
Mějme grupoid \( (\mathbb{Q}; \circ)\), kde \(\mathbb{Q}\) jsou racionální čísla a operace \(\circ\) je definována následovně: \(x \circ y = |xy|\). To znamená – vezmi si nějaká dvě racionální čísla, vynásob je spolu a udělej absolutní hodnotu. Např. \(-2 \circ 5 = |-2 \cdot 5| = |-10| = 10\). První bychom se měli zamyslet, zda jde opravdu o grupoid. Když spolu vynásobíme dvě racionální čísla, dostaneme opět racionální číslo. Pokud to číslo bude záporné, tak se nám „zkladní“, ale racionálním zůstane. Pokud bude kladné či nula, tak jej absolutní hodnota nezmění. Nakonec máme definované násobení pro všechna racionální čísla (kdybychom zde místo násobení měli klasické dělení, tak by byl problém kvůli nule). Grupoid tedy máme.
Jde o semigrupu? Abychom to ověřili, musí pro všechny trojice \(x,y,z \in \mathbb{Q}\) platit, že \(x \circ (y \circ z) = (x \circ y) \circ z\).
Pojďme si to pomalu rozepsat podle definice naší operace \(\circ\). Začněme upravovat levou stranu rovnice, o které chceme rozhodnout, zda platí. Musíme vždy začít tím, co je v závorce, takže dostáváme:
$$ x \circ (y \circ z) = x \circ |yz| $$
Tak a co teď? Definice naší operace nám říká, ať si vezmu to, co stojí před kolečkem, to je nyní \(x\) a to, co stojí po kolečku, to je nyní \(|yz|\) a dám to do součinu v absolutní hodnotě. Dostáváme tedy:
$$ x \circ |yz| = |x|yz|| $$
Teď je otázka, co s těmi absolutními hodnotami – ty můžeme klidně odstranit, neboť absolutní hodnotu při násobení můžeme roztrhnout, tedy:
$$ |x|yz|| = |x|\cdot||yz|| $$
a máme-li z něčeho dělat absolutní hodnotu, dostaneme kladné číslo či nulu. Pokud budeme chtít najít absolutní hodnotu z tohoto výsledku, již se nic nezmění, čili:
$$ |x|\cdot||yz|| = |x|\cdot|yz| = |xyz| $$
Teď se musíme podívat, zda nám vyjde to samé, když provedeme \( (x \circ y) \circ z\).
Nejprve vyřešíme to, co je v závorce a dostáváme:
$$ (x \circ y) \circ z = |xy| \circ z. $$
Nyní jako první člen do naší binární operace dám \(|xy|\) a jako druhý beru \(z\). Dostáváme tedy:
$$ |xy| \circ z = ||xy|z|. $$
Což opět můžeme přepsat na \(|xyz|\), což je to samé jako v předešlém případě, čili jsme došli k tomu, že \(x \circ (y \circ z) = (x \circ y) \circ z\), takže zde platí asociativita, tedy tento grupoid je semigrupou.
S4 (těžký příklad)
V tomto příkladě je těžší ukázat jak to, že jsme v grupoidu, tak to, že jsme v semigrupě. Jestli jej nechápete, nic se neděje, můžete se k němu vrátit někdy později.
Podívejme se na příklad, který trochu souvisí s fyzikou. V roce 1905 se ukázalo, že stojím-li na vlaku, který jede rychlostí \(u = 50 \ \frac{km}{h}\) a hodím míč před sebe rychlostí \(v = 10 \ \frac{km}{h}\), tak pozorovateli, který stojí vůči vlaku v klidu, se rychlost míče nebude jevit jako \(50 \ \frac{km}{h} + 10 \ \frac{km}{h} = 60 \ \frac{km}{h}\), což by nám přišlo přirozené, ale jako \(\frac{50+10}{1+{\frac{50 \cdot 10}{c^2}}} =59.99999999999997423… \), kde \(c\) je rychlost světla ve vakuu (přibližně \(300 \ 000 \frac{km}{s}\)).
Čili obecně pro sčítání dvou rychlostí \(u\) a \(v\), které budeme značit \(\oplus\), máme
$$ u \oplus v = \frac{u+v}{1+{\frac{uv}{c^2}}}. $$
Důležité je, že víme, že nic nemůže cestovat rychleji než světlo, tedy dané rychlosti můžou být jen z intervalu \( (-c,c)\), kde minusem značíme rychlost v opačném směru než rychlosti s plusem. Jako naší nosnou množinu tedy budeme brát \( \{u \oplus v | u \in (-c,c), v \in (-c,c) \}\).
Zjevně tedy máme nějakou binární „operaci“, teď bychom se ještě měli zamyslet, zda slovo operace můžeme psát bez uvozovek, tedy zda-li je ta operace uzavřená. Tedy jestli vždy, když sečteme dvě rychlosti, vyjde zase rychlost z intervalu \( (-c,c)\), což nezní moc intuitivně.
Zkusme si sečíst např. \(u = \frac{c}{2}\) a \(v = \frac{c}{2}\), dostáváme podle definice \(\oplus\) následující:
$$ \frac{c}{2} \oplus \frac{c}{2} = \frac{\frac{c}{2}+\frac{c}{2}}{1+{\frac{\frac{c}{2} \cdot \frac{c}{2}}{c^2}}} = \frac{c}{1+\frac{1}{4}} = \frac{c}{\frac{5}{4}} = \frac{4c}{5}, $$
což je o něco méně než \(c\), které bychom čekali, kdybychom udělali \(\frac{c}{2} + \frac{c}{2}\) v klasickém sčítání.
Použijme substituci \(u = c-x\) a \(v = c-y\) a uvažujme případ, kdy \(u,v \geq 0\), dostáváme:
$$ u \oplus v = \frac {(c-x)+(c-y)}{1+\frac{(c-x) \cdot (c-y)}{c^2}} = \frac{2c-x-y}{1+\frac{c^2-cy-cx+xy}{c^2}} = \frac{2c-x-y}{1+1-\frac{x}{c}-\frac{y}{c}+\frac{xy}{c^2}} = \frac{2c-x-y}{2-\frac{x}{c}-\frac{y}{c}+\frac{xy}{c^2}} = c \cdot \frac{2-\frac{x}{c}-\frac{y}{c}}{2-\frac{x}{c}-\frac{y}{c}+\frac{xy}{c^2}} $$
Prohlédněme si pozorně, co jsme dostali – máme nějaký zlomek, který násobíme číslem \(c\). Čitatel a jmenoval je skoro stejný, až na to, že ve jmenovateli máme navíc člen \(+\frac{xy}{c^2}\), který je mezi nulou a jedničkou. Čili jmenovatel je vždy větší než čitatel, a v tom případě je celý zlomek menší než jedna, a když \(c\) vynásobíme číslem menším než jedna, dostáváme číslo menší než \(c\). Z těchto úvah plyne, že:
$$ c\cdot \frac{2-\frac{x}{c}-\frac{y}{c}}{2-\frac{x}{c}-\frac{y}{c}+\frac{xy}{c^2}} < c, $$
což jsme chtěli dokázat.
Odvození, pro které je vyžadována znalost derivací
Představme si naše skládání rychlostí jako nějakou funkcí, kde si zafixujeme nějaké konstantní \(u < c\), máme pak funkci v jedné proměnné, a to ve \(v\).
$$ f(v) = \frac{u+v}{1+{\frac{uv}{c^2}}}. $$
Ještě budeme potřebovat pro dané \(u < c\) spočítat \(f(c) = \frac{u+c}{1+\displaystyle \frac{uc}{c^2}} = \frac{u+c}{1+\displaystyle \frac{u}{c}} = \frac{u+c}{\displaystyle \frac{c+u}{c}} = \frac{c \cdot (u+c)}{c+u} = c\)
Vzhledem k tomu, že máme derivovat funkci ve tvaru \(\frac{h(v)}{g(v)}\), bude se nám hodit vzoreček k derivování podílu:
$$ (\frac{h}{g})‘ = \frac {h’g-hg‘}{h^2} $$Naše \(h\) je \(u+v\) a naše \(g\) je \(1+\frac{uv}{c^2}\)
Pojďme zjistit, zda jde o monotónní funkci, tedy zderivujeme tuto funkci podle \(v\):
$$ \frac{(u+v)‘ \cdot (1+\frac{uv}{c^2})-(u+v) \cdot (1+\frac{uv}{c^2})‘}{(1+\frac{uv}{c^2})^2} = \frac{1 \cdot (1+\frac{uv}{c^2})-(u+v) \cdot \frac{u}{c^2}}{1+\frac{2uv}{c^2}+\frac{u^2v^2}{c^4}}= \frac{1+\frac{uv}{c^2}-\frac{u^2}{c^2}-\frac{vu}{c^2}}{1+\frac{2uv}{c^2}+\frac{u^2v^2}{c^4}} = \frac{1-\frac{u^2}{c^2}}{1+\frac{2uv}{c^2}+\frac{u^2v^2}{c^4}} = \\ \frac {\frac{c^2-u^2}{c^2}}{\frac{c^4+2uvc^2+u^2v^2}{c^4}} = \frac{c^2-u^2}{c^2} \cdot \frac{c^4}{c^4+2uc^2+u^2v^2} = \frac{c^2(c^2-u^2)}{(c^2+2uv)^2}$$
Je zjevné, že pro \(u < c\) je výraz \(c^2-u^2\) kladný, a pokud je první derivace funkce kladná, potom jde o monotónní funkci. Z toho plyne, že pokud \(v < c\), tak \(f(v) < f(c)\) a víme, že pro fixní u \(f(c) = c\), tedy \(v<c \Rightarrow f(v) < c\), což jsme chtěli dokázat.
Ukažme, že platí asociativita, tedy, že \(u \oplus (v \oplus w) = (u \oplus v) \oplus w\) pro všechny \(u, v, w \in (-c,c)\).
Upravme nejprve závorku v levé straně:
$$ v \oplus w = \frac{v+w}{1+{\frac{vw}{c^2}}} $$
a nyní proveďme \(u \oplus \frac{v+w}{1+{\frac{vw}{c^2}}}\), z definice \(\oplus\) dostáváme:
$$ u \oplus \frac{v+w}{1+\frac{vw}{c^2}} = \frac{u+\displaystyle \frac{v+w}{1+\frac{vw}{c^2}}} {1+\displaystyle \frac{u}{c^2} \cdot \frac{v+w}{1+\frac{vw}{c^2}}}$$
Abychom se v úpravách a složených zlomcích úplně neztratili, upravme některé členy zvlášť. Začněme čitatelem a proveďme tuto úpravu:
$$ u+\frac{v+w}{1+\displaystyle \frac{vw}{c^2}} = u+\frac{v+w}{\displaystyle \frac{c^2+vw}{c^2}} $$
Dělení je převrácené násobení, takže můžeme psát:
$$ u+\frac{v+w}{\frac{c^2+vw}{c^2}} = u+\frac{c^2 \cdot (v+w)}{c^2+vw} = u+\frac{vc^2+wc^2}{c^2+vw} = \frac{uc^2+uvw+vc^2+wc^2}{c^2+vw}$$
To byl čitatel. Nyní upravme jmenovatel:
$$ 1+\frac{u}{c^2} \cdot \frac{v+w}{1+\frac{vw}{c^2}} = 1+\frac{uv+uw}{c^2+vw} = \frac{c^2+vw+uv+uw}{c^2+vw}. $$
A nakonec dohromady máme, že:
$$ \frac{u+\displaystyle \frac{v+w}{1+\displaystyle \frac{vw}{c^2}}} {1+\displaystyle \frac{u}{c^2} \cdot \frac{v+w}{1+\frac{vw}{c^2}}} = \frac{\displaystyle \frac{uc^2+uvw+vc^2+wc^2}{c^2+vw}}{\displaystyle \frac{c^2+vw+uv+uw}{c^2+vw}} = \frac{uc^2+uvw+vc^2+wc^2}{c^2+vw+uv+uw}$$
Nyní nás zajímá úprava výrazu \( (u \oplus v) \oplus w\). Nejprve opět upravíme závorku, máme
$$ u \oplus v = \frac{u+v}{1+{\frac{uv}{c^2}}} $$
a toto celé složíme s \(w\):
$$ (u \oplus v) \oplus w = \frac{\frac{u+v}{1+\frac{uv}{c^2}}+w}{1+\frac{u+v}{1+\frac{uv}{c^2}} \cdot \frac{w}{c^2}}$$
Opět si zvlášť spočtěme čitatel a zvlášť jmenovatel, začněme čitatelem:
$$ \frac{u+v}{1+\frac{uv}{c^2}}+w = \frac {u+v}{\frac{c^2+uv}{c^2}} + w = \frac{uc^2+vc^2}{c^2+uv}+w = \frac{uc^2+vc^2+wc^2+wuv}{c^2+uv}$$
a pokračujme jmenovatelem:
$$ 1+\frac{u+v}{1+\frac{uv}{c^2}} \cdot \frac{w}{c^2} = 1+\frac{uw+vw}{c^2+uv} = \frac{c^2+uv+uw+vw}{c^2+uv} $$
A konečně tedy dostáváme, že
$$ \frac{\displaystyle \frac{u+v}{1+\displaystyle \frac{uv}{c^2}}+w}{1+\displaystyle \frac{u+v}{1+\frac{uv}{c^2}} \cdot \frac{w}{c^2}} = \frac{\displaystyle \frac{uc^2+vc^2+wc^2+wuv}{c^2+uv}}{\displaystyle \frac{c^2+uv+uw+vw}{c^2+uv}} = \frac{uc^2+vc^2+wc^2+wuv}{c^2+uv+uw+vw}$$
Dostali jsme tedy, že
$$ u \oplus (v \oplus w) = \frac{uc^2+vc^2+wc^2+wuv}{c^2+uv+uw+vw} =(u \oplus v) \oplus w, $$
tedy opravdu zde máme semigrupu.
Def. Semigrupy.2 Řekneme, že grupoid \(G, \circ \) je monoidem, pokud je semigrupou s neutrálním prvkem. Tj. existuje takový prvek \(e \in G\), že pro všechna \(x \in G\) platí, že \(x \circ e = e \circ x = x\).
Pokud je tato definice nejasná, ukažme si ji na příkladu. Mějme např. grupoid \( (\mathbb{Z}; +)\), tedy celá čísla s operací sčítání. Na začátku tohoto článku jsme ukázali, že jde o semigrupu. Nyní se zamysleme, zda jde o monoid.
Hledáme takový prvek \(e\), že ať si vezmu libovolný prvek \(x \in \mathbb{Z}\), tak \(x+e = e+x = x\). Pro lepší představu si vezměme třeba \(x = 5\), tedy hledáme takové \(e \in \mathbb{Z}\), že \(5+e=e+5 = 5\). Tímto prvkem je samozřejmě číslo \(0\). A to nejen pro pětku, ale obecně platí, že \(x+0 = 0+x = x\). Grupoid \( (\mathbb{Z}; +)\) je tedy monoidem.
Na druhou stranu grupoid \( ( \mathbb{N_{>0}; +}\)), tedy přirozená čísla bez nuly s operací sčítání, je semigrupou, ale není monoidem, neboť zde neutrální prvek nenajdeme.
Nyní si projděme příklady S2 – S4, kde jsme měli semigrupy a zkusme zjistit, zda se nejedná o monoidy.
S2
V druhém příkladu jsme měli grupoid (a semigrupu) s nosnou množinou \(F = \{f(x), g(x), h(x)\}\), kde $$ f(x) = x, \\ g(x) = 1-\frac{1}{x}, \\ h(x) = \frac {1}{1-x}. \\ D(f) = \mathbb{R} – \{0,1\}, \\ D(g) = \mathbb{R}-\{0\}, \\ D(h) = \mathbb{R}-\{1\}. $$
a s operací \(\circ\), která v tomto případě značí skládání funkcí. Jde o monoid?
Tedy existuje taková funkce, kterou pokud složím s jinou funkcí, vyjde mi právě ta funkce? Z tabulky vidíme, že \( f(x) \circ k(x) = k(x)\) pro všechny \(k(x) \in G\) (tedy jak pro \(f(x)\), tak pro \(h(x)\), tak pro \(g(x)\); \(k(x)\) tu stojí jako zástupný symbol obdobně jako používáme např. \(x\) pro libovolné prvky např. přirozených čísel).
Stejně tak vidíme, že pro všechny \(k(x) \in G\) platí, že \(k(x) \circ f(x) = k(x) = f(x) \circ k(x)\), tedy podle definice neutrálního prvku máme, že \(k(x)\) je neutrálním prvkem a že tento grupoid je monoidem.
S3
Ve třetím příkladě jsmě meli grupoid (a jak jsme ukázali, tak i semigrupu) \( (\mathbb{Q}; \circ)\), kde \(\mathbb{Q}\) jsou racionální čísla a operace \(\circ\) je definována následovně: \(x \circ y = |xy|\). Máme zde monoid?
To znamená, existuje takový prvek \(e\), že pro všechna \(x \in \mathbb{Q}\) platí, že \(x \circ e = e \circ x = x\)? Vzhledem k násobení (které je uvnitř absolutní hodnoty) by nás mohlo napadnout, že daným prvkem bude číslo \(1\). A v mnoha případech opravdu se bude jednička jevit jako neutrální prvek tohoto grupoidu, např. \(5 \circ 1 = |5 \cdot 1| = |1 \cdot 5| = 1 \circ 5 = 5\). To samé pro všechna ostatní kladná racionální čísla i pro nulu. Co ale záporná čísla?
Zkusme např. \(-5 \circ 1 = |-5 \cdot 1| = |-5| = 5 \neq -5\), čili jednička v tomto grupoidu není neutrálním prvkem. Ukažme, že v tomto grupoidu není žádný neutrální prvek.
Vyberme si libovolné záporné \(x \in \mathbb{Q}\), tedy máme \(x < 0\). Nyní hledáme \(e\) tak, že \(x \circ e = x\). Pokud si k tomuto \(x\) ale vybereme naprosto libovolné \(y \in \mathbb{Q}\), tak dostaneme \(x \circ y = |xy| \geq 0\), čili nikdy se nestane, že \(x \circ y < 0\), čili pro záporná čísla neexistuje v tomto grupoidu žádný neutrální prvek.
S4
Ve čtvrtém příkladu jsme měli množinu \( \{u \oplus v | u \in (-c,c), v \in (-c,c) \}\), kde operace \(\oplus\) byla definována takto:
$$ u \oplus v = \frac{u+v}{1+{\frac{uv}{c^2}}} $$
Ukázali jsme, že jde o semigrupu. Jde o monoid? Hledáme tedy neutrální prvek a lehce nahlédneme, že je jím \(0\). Opravdu
$$ u \oplus 0 = \frac{u+0}{1+\displaystyle \frac{u \cdot 0}{c^2}} = \frac{u}{1} = u $$ a stejně tak
$$ 0 \oplus u = \frac{0+u}{1+\displaystyle \frac{0 \cdot u}{c^2}} = \frac{u}{1} = u. $$