Krátké povídání o funkcích a jejich skládání

Grupoid může obsahovat i funkce, jak si ukážeme v příštím článku. Připomeňme si tedy (spíše neformálně než s použitím přesných definicí) co to taková funkce vlastně je.

Funkce je určitý typ zobrazení (zde blíže v mírně složitějším článku, který není třeba pro pochopení tohoto textu), které má nějaký vstup a nějaký výstup. Pro jeden vstup je vždy maximálně jeden výstup. Např. funkce \(f(x) = x^2\) nám udělá to, že jí pošlu nějaké \(x\) (proto je v závorce za tím písmenem \(f\)) a ona mi ho vrátí umocněné na druhou. Onomu \(x\) říkáme argument funkce. Když ho změním v té závorce na něco jiného, musím ho stejným způsobem změnit i na druhé straně rovnosti – např. dostáváme, že \(f(y) = y^2\) – to proto, že jako vstup jsem této funkci vložil \(y\) a ona funguje tak, že cokoliv dám jako vstup, umocní na druhou. Dále např. platí \(f(8) = 8^2, f(\star) = \star^2\) etc.

Každá funkce má svůj definiční obor a obor hodnot. Definiční obor funkce \(f(x)\) je množina všech čísel (našich \(x\)), které můžu dát do našeho vstupu a kterou značíme \(D(f)\). Máme dva možné přístupy – buď rozhodneme, co bude definiční obor naší funkce, tj. např. funkce \(f(x) = x^2\) s definičním oborem \(\{1,10\}\) a funkce \(f(x) = x^2\) s definičním oborem \(\mathbb{R}\) budou různé. Anebo napíšeme jen předpis funkce, tj. \(f(x) = x^2\) a jako její definiční obor budeme automaticky brát (v \(\mathbb{R}\)) tu největší možnou množinu – což je v tomto případě právě \(\mathbb{R}\). V tomto textu (a kurzu abstraktní algebry) budeme používat první možnost, nebude-li řečeno jinak.

Čili když napíšeme funkci \(z(a) = \sqrt{a}\) (ano, funkce se nemusí značit jen \(f\) a její argument nemusí být jen \(x\)), tak musíme dodat, co jsme se rozhodli, že bude jejím definičním oborem.

Obor hodnot funkce \(f(x)\) je množina všech čísel, které jsou na výstupu dané funkce a kterou značíme \(H(f)\). Mám-li např. funkci \(f(x) = x^2\) s definičním oborem celé \(\mathbb{R}\) , potom je jejím oborem hodnot množina všech nezáporných čísel – to proto, že libovolné číslo na druhou je vždy kladné (kromě nuly, protože \(0^2 = 0\)).

Že nějaká funkce bere vstupy z nějaké množiny (např. \(f(x) = \sqrt{x}\) jen z množiny nezáporných reálných čísel, tj. \(\mathbb{R^+}+\{0\})\), kterou obecně značíme \(D(f)\) a výstupy jsou opět z nějaké množiny (např. \(f(x) = \sqrt{x}\) opět jen z množiny nezáporných reálných čísel, tj. \(\mathbb{R^+}+\{0\})\), kterou obecně značíme \(H(f)\), můžeme psát takto \(f: D(x) \rightarrow H(x)\). V nejabstraktnějším přístupu, když bychom chtěli mluvit o funkcích, bychom prostě řekli, že máme nějakou funkci \(f(x)\) s jednou reálnou proměnnou (to je to naše \(x\)) takovou, že \(f: U \rightarrow V\), kde \(U\) a \(V\) jsou nějaké množiny, které slouží jako náš definiční obor a obor hodnot.

Nyní už si můžeme zadefinovat skládání funkcí.

Def. FUNKCE.1 Mějme dvě libovolné funkce \(f: V \rightarrow W\) a \(g: V \rightarrow W\), potom složením těchto funkcí v bodě \(x\) rozumíme \( (f \circ g) (x) = f(g(x))\).

To tedy znamená, že si vezmu funkci \(g(x)\) v nějakém bodě, dostanu nějaký výstup a tento výstup dám jako vstup funkci \(f(x)\). Občas toto pro zjednodušení píšeme jen jako \(f \circ g\).

Mějme nějaké dvě funkce, např. \(f(x) = x^2, g(x) = x+2\), kde definiční obor obou funkcí je celé \(\mathbb{R}\). Zde máme např. \(f(3) = 3^2 =9, g(4) = 4+2 = 6\). Nyní by nás zajímalo, jak složit funkce \(f\) a \(g\). V tomto případě dostáváme \( (f \circ g) (x) = f(g(x) ) = f(x+2) = (x+2)^2\). Např. tedy máme, že \( (f \circ g ) (3) = f(g(3)) = f(3+2) = (3+2)^2 = 5^2 = 25\).

A když už máme skládání funkcí, rovnou si ukažme pěknou větu, která se nám bude hodit.

V. FUNKCE.1 Skládání funkcí je asociativní, neboli pro tři libovolné funkce \(f(x), g(x), h(x)\), kde \(f: W \rightarrow X, g: V \rightarrow W, h: U \rightarrow V\) platí, že \( (f \circ (g \circ h) ) (x) = ( (f \circ g) \circ h)(x)\).

Ukažme si to na nějakém příkladu, zkusme např. složit \(f(x) = x^2, g(x) = x+2, h(x) = \sin x\). První proveďme \(f \circ (g \circ h)\) a pak \( (f\circ g) \circ h\) a uvidíme, že nám vyjde to samé.

Musíme začít závorkou, tedy nyní proveďme \(g \circ h\), tj. podle definice skládání \(g(\sin \ x) = \sin \ x + 2\). Nyní už můžeme udělat \(f \circ (g \circ h)\), tedy \(f (\sin \ x+2) = (\sin \ x +2)^2\).

Nyní první složíme funkce \(f\) a \(g\), tedy \(f(x+2) = (x+2)^2\). A tuto funkci složme s \(h\) (tj. všude místo \(x\) budeme psát \(\sin \ x\)) a dostáváme, že \( (f \circ g) \circ h = (\sin \ x +2)^2\), což je to samé, co v prvním příkladě.

Pokud vás zajímá důkaz, že takto platí asociativita u skládání funkcí, tak zde:

Důkaz V. FUNKCE.1

Mějme tři libovolné funkce \(f(x), g(x), h(x)\), kde \(f: W \rightarrow X, g: V \rightarrow W, h: U \rightarrow V\). Upravme první levou stranu rovnosti v dané větě:

$$ (f \circ (g \circ h) ) (x) $$

Zde pro skládání bereme jako první do složení \(f\) a to druhé je celé \(g \circ h\), takže máme:

$$ (f \circ (g \circ h) ) (x) = f( (g \circ h)(x)) $$

a zde opět složíme to, co je v závorce, tedy:
$$ f( (g \circ h)(x) ) = f(g(h(x) ) ) .$$

Poté podobně složme pravou stranu rovnosti v dané větě, teď již rychleji:
$$ ( (f \circ g) \circ h) (x) = (f \circ g)(h(x) ) = f(g(h(x) ) ) .$$

Vidíme, že tedy je skládání funkcí opravdu asociativní.

 

 

 

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *