Grupoid
V minulém článku jsme si řekli něco o algebraických strukturách. Grupoid je jednou z nejjednodušších algebraických struktur. Je to struktura s jednou binární operací. Žádné další požadavky nemusí být splněny, abychom o dané struktuře řekli, že je grupoidem. Grupoid budeme značit jako dvojici (množina; operace). Např. (\( \mathbb{N}; +\) ) pro nás bude množina přirozených čísel se sčítáním.
Binární operace na grupoidu je často značena „\(\cdot\)“ nebo „\(\odot\)“ (popř. \(+\) nebo \(\oplus\)) a je tím prostě myšlena nějaká operace (klidně i sčítání, odčítání, …), která je dále blíže specifikována. Čili přestože se \(a \cdot b\) nazývá součinem, nejde (resp. nemusí jít) o násobení či sčítání, na které jsme zvyklí – jde jen o pojmenování (libovolné) operace na grupoidu. Místo \(a \cdot b\) budeme často psát jen \(ab\).
Používáme-li symbol \(+\) či \(\oplus\), pak mluvíme o aditivním značení, používáme-li symbol \(\cdot\) či \(\odot\), pak mluvíme o multiplikativním značení.
Množina \(G\), na které definujeme binární operaci, se nazývá nosná množina grupoidu či prostě nosič. Dejme tomu, že jsme si pro danou operaci zvolili symbol \(\odot\), pak tento grupoid označujeme jako dvojici
(\(G; \odot\)), popř. \(G(\odot\)).
Příklady grupoidů
G1
Mějme (\(\mathbb{N_0}; +\)). Máme tedy přirozená čísla (včetně nuly, kdybychom chtěli přirozená čísla bez ní, budeme psát \(\mathbb{N_{>0}}\)), na kterých budeme sčítat. Tj. vezmeme si vždy dva prvky z přirozených čísel a sečteme je.
Jde o grupoid? V první řadě musí jít o algebraickou strukturu, tedy musíme zde mít nějakou množinu a k ní operaci: množinou je \(\mathbb{N}\) a operací \(+\) (a \(+\) je opravdu operace na \(\mathbb{N}\), neboť ať sečtu libovolné dvě přirozená čísla, opět mi vyjde přirozené číslo).
Aby to byl grupoid, musí tato operace být binární: tou ale \(+\) je, čili (\(\mathbb{N_0}; + \)) je vskutku grupoid.
G2
Nyní se zamysleme nad (\(\mathbb{N_0};-\)) neboli máme přirozená čísla, na kterých budeme odčítat. Jde o grupoid?
Opět se musíme v první řadě ptát, zda jde o algebraickou strukturu. Množinu bychom zde měli, ale odčítání nám bude dělat problémy.
\(-\) totiž není operací: podle naší definice musí platit, že vezmu-li si libovolné dva prvky z naší množiny a provedu na nich danou operaci, tak výsledek bude vždy opět v zadané množině. My si ale můžeme vzít třeba prvky \(5\) a \(6\), dostáváme, že \(5-6 = -1\) a víme, že \(-1\) nepatří do přirozených čísel. Čili \(-\) není operací a (\(\mathbb{N}; -\)) není algebraickou strukturou.
G3
V prvních dvou příkladech jsme měli nekonečně velké množiny. Grupoid si ale můžeme vymyslet (víceméně) libovolně. Mějme nosnou množinu \(G\) o \(4\) prvcích: \(a, b, c, d\), na které definujme binární operaci následovně:
\(aa = ab = bb = a\),
\(ad = ba = bd = db = cb = b\),
\(ac=bc=ca=cc=cd=dc=dd=c\),
\(da = d\).
Pojďme si ověřit, že jde vážně o grupoid. V první řadě musíme mít neprázdnou množinu – to jsme zjevně splnili. Pak na ní musíme mít definovanou binární operaci, tj. musíme ověřit, že je opravdu binární a že pro libovolnou dvojici prvků \(x,y \in G\) platí, že \(xy \in G\).
Vidíme, že opravdu vždy bereme právě dva prvky z naší množiny. Relativně rychle si můžeme ověřit, že v našem výčtu máme definované všechny následující součiny: \(aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ca, cb, cc, cd, da, db, dc, dd\). Kdyby libovolný z nich chyběl, nemohli bychom mluvit o operaci, tudíž ani o grupoidu.
Takto definovaná operace by mohla býti celkem nepřehlednou, proto používáme tzv. tabulku operace (neboli Caleyho tabulku).
\[ \begin{array}{c|cccc} & a & b & c & d\\ \hline a & a & a & c & b\\ b & b & a & c & b\\ c & c & b & c & c\\ d & d & b & c & c\\ \end{array} \]Tu čteme tak, že bereme prvek z řádku a k němu nějaký prvek ze sloupce a výsledek daného součinu vepíšeme k danému řádku a sloupci (pozor, musíme to provést nutně v tomto pořadí, neboť operace nemusí být komutativní).
G4
Mějme nyní množinu \(G\) a v ní prvky \(\star, \blacklozenge, \bigcirc\). Nechť:
\(\star \blacklozenge = \star \bigcirc = \bigcirc \star = \star\),
\(\star \star = \blacklozenge \blacklozenge = \blacklozenge\),
\(\blacklozenge \star = \blacklozenge \bigcirc = \bigcirc\),
\(\bigcirc \blacklozenge = \blacksquare\).
Nyní nejde o grupoid, a to proto, že pro libovolné dva prvky z množiny neplatí, že jejich součin je v \(G\). Máme totiž, že \(\bigcirc \blacklozenge = \blacksquare\) a ať už je \(\blacksquare\) z jakékoliv množiny, tak určitě víme, že do naší množiny \(G\) nepatří.
Kdybychom toto předělali (např. psali, že \(\bigcirc \blacklozenge = \star\)), tak pořád máme problém – ani \(\bigcirc \bigcirc\) nepatří do \(G\), tento součin nemáme vůbec definován!
Tabulka vypadá následovně:
\[ \begin{array} {c|ccc} & \star & \blacklozenge & \bigcirc \\ \hline \star & \blacklozenge & \star & \star \\ \blacklozenge & \bigcirc & \blacklozenge & \bigcirc \\ \bigcirc & \star & \blacksquare & \\ \end {array} \]Další struktury, které budeme zkoumat, budou opět grupoidy, ale tentokrát s nějakou další přidanou vlastností (např. komutativní grupoid bude grupoidem, ve kterém je operace komutativní). Než si je definujeme, budeme potřebovat několik dalších pojmů.
Levý, resp. pravý neutrální prvek
Def. GRUPOID.1: prvek \(e\) grupoidu \( (G,\cdot) \) se nazývá levým, resp. pravým neutrálním prvkem grupoidu \( (G,\cdot)\), pokud:
\( ea = a\) pro všechny \(a \in G\), resp.
\(ae = a\) pro všechny \(a \in G\).
Jestliže je prvek \(e\) zároveň levým i pravým neutrálním prvkem, nazýváme ho neutrálním prvkem. .
Co to znamená? Máme-li nějaký neutrální prvek (označme si ho \(e\)), pak když provedu \(e\) daná operace \(a\), kde \(a\) je libovolný prvek z dané množiny, vyjde mi \(a\).
Může se ale stát, že když otočím pořadí, tedy provedu \(a\) daná operace \(e\), tak mi výsledek vyjde jinak než \(a\), potom mluvím o tzv. levém neutrálním prvku – a obdobně pro pravý neutrální prvek. Ukažme si to konkrétněji.
Vzpomeňme si na příklad G1, tedy (\(\mathbb{N_0}; +\)), kde operací \(+\) myslíme sčítání. Když k libovolnému číslu přičtu \(0\), potom mi samozřejmě vyjde opět to dané číslo. Např. \(5+0 = 5, 774 +0 =774\) atd.
Stejně tak platí, že když k nule přičtu libovolné přirozené číslo, vyjde mi to dané číslo. Např. \(0+44 = 44, 0+6969 = 6969\) atd.
Kdybychom to chtěli napsat trochu abstraktněji, psali bychom, že pro \(e = 0\) platí, že pro všechna \(a \in \mathbb{N_0}\) je \(e+a = 0+a= a\), tedy \(0\) je levým neutrálním prvkem grupoidu (\(\mathbb{N_0}; +\)). Máme však také, že pro všechna \(a \in G\) je \(a+e=a+0=a\), tedy \(0\) je pravým neutrálním prvkem grupoidu (\(\mathbb{N_0}; +\)). Vzhledem k tomu, že \(0\) je levým a zároveň pravým neutrálním prvkem našeho grupoidu, je \(0\) neutrálním prvkem grupoidu (\(\mathbb{N}; +\)).
Jak se projeví neutrální prvky v tabulce operace? Máme-li levý neutrální prvek, potom se v řádku, kde je napsán, zkopíruje záhlaví sloupců tabulky. Obdobně máme-li pravý neutrální prvek, potom se ve sloupci, kde je napsán, zkopíruje záhlaví řádků tabulky.
V příkladu G3 je pravým neutrálním prvkem prvek \(a\), neboť máme, že \(aa = a, ba = b, ca = c, da = d\). O levý neutrální prvek nejde, neboť máme např. \(ab = a\), tedy nejde ani o neutrální prvek.
Více levých, resp. pravých neutrálních prvků
V grupoidu můžeme mít více jak levých, tak pravých neutrálních prvků. Ukažme si to na příkladech.
G5
Mějme množinu \(G\) s prvky \(a, b, c, d\) s binární operací definovanou následovně:
\(db = aa = ca = bc = a\),
\(dd = ab = cb = bd= b\),
\(da = ac = ba = cc = c\),
\(dc = bb = ad = cd = d\).
V tabulce:
\[ \begin{array}{c|cccc} & a & b & c & d\\ \hline a & a & b & c & d\\ b & c & d & a & b\\ c & a & b & c & d\\ d & c & a & d & b\\ \end{array} \]Vidíme, že pro všechny prvky \(x \in G\) dostáváme, že \(ax = x\), \(a\) je tedy levým neutrálním prvkem. Stejně tak pro všechny \(x \in G\) dostáváme, že \(cx = x\), tedy \(c\) je také levým neutrálním prvkem.
Obdobný příklad bychom mohli vymyslet i pro dva pravé neutrální prvky.
Grupoid s alespoň jedním levým a alespoň jedním pravým prvkem
Ukázali jsme, že grupoid může mít více různých levých nebo více různých pravých neutrálních prvků. Nyní si dokažme, že nemůže mít zároveň více různých levých a více různých pravých neutrálních prvků.
V. Grupoid.1: Nechť má grupoid (\(G; \cdot\)) alespoň jeden levý neutrální prvek (e) a zároveň alespoň jeden pravý neutrální prvek (f). Potom (e = f) je neutrální prvek a jde o jediný levý a pravý neutrální prvek daného grupoidu
Než si ukážeme formální důkaz tohoto tvrzení, zkusme si intuitivně na tabulce ukázat, proč toto tvrzení platí. Mějme množinu \(\{a, b, c, d\}\) a nechť \(a\) je levý neutrální prvek, můžeme tedy začít vyplňovat naší tabulku:
\[ \begin{array}{c|cccc} \cdot & a & b & c & d\\ \hline a & a & b & c & d\\ b & & & & \\ c & & & & \\ d & & & & \\ \end{array} \]Co kdybychom teď chtěli přidat nějaký pravý neutrální prvek, který bude různý od \(a\)? Dejme tomu, že bychom chtěli \(b\) jako náš pravý neutrální prvek. To by ale znamenalo, že se např. \(a \cdot b\) musí rovnat \(a\), ale my jsme již napsali, že \(a \cdot b = b\). Obdobné úvahy bychom mohli provést i pro prvky \(c\) a \(d\) (a kdybychom měli větší tabulku, tak pro všechny další prvky).
Objevíme-li tedy v grupoidu levý neutrální prvek a pravý neutrální prvek, pak víme, že jsou si rovny.
Obdobné úvahy můžeme provést i pro neutrální prvek. Nechť třeba \(b\) je neutrálním prvkem. Opět můžu začít vyplňovat tabulku:
\[ \begin{array}{c|cccc} \cdot & a & b & c & d\\ \hline a & & a & & \\ b & a &b &c &d \\ c & & c& & \\ d & &d & & \\ \end{array} \]Co kdybychom chtěli přidat nějaký další neutrální prvek různý od \(b\)? Dejme tomu, že bychom chtěli \(d\) jako další neutrální prvek. Potom by však např. muselo platit, že se \(d \cdot b\) rovná \(b\), ale my již víme, že platí \(d \cdot b = d\). Obdobné úvahy můžeme provést i pro naše další prvky.
Objevíme-li v grupoidu dva neutrální prvky, pak si můžeme být jisti, že jsou si rovny. Nemáme k tomu ale jasný důkaz, spíše nějakou intuici. Nemůžeme si být \(100\)% jistí, platí-li to tak ve všech tabulkách a platí-li to i pro nekonečně velké množiny. V tom případě nám pomůže důkaz, který nemusí být pro všechny tak jednoduchý – proto je podbarven červenou barvou a není-li vám to teď jasné, vůbec nezoufejte.
Důkaz V. Grupoid.1
Vzhledem k tomu, že \(e\) je levý neutrální prvek, tak \(ef = f\). Vzhledem k tomu, že \(f\) je pravý neutrální prvek, tak \(ef = e\). Z tranzitivity ekvivalence dostáváme, že \(e = ef = f\), tedy \(e=f\). Značme dále náš neutrální prvek jen \(e\).
Nyní ukažme, že máme-li neutrální prvek, potom neexistuje jiný levý či pravý neutrální prvek. Předpokládejme pro spor, že existuje levý neutrální prvek různý od \(e\) a označme jej \(g\). Protože \(e\) je neutrální prvek (tedy je neutrální i zprava), dostáváme, že \(ge = g\). Protože \(g\) je levý neutrální prvek, dostáváme, že \(ge = e\). Z tranzitivity ekvivalence máme, že \(g = ge = e\), tedy \(g = e\), což je spor.
Důkaz, že neexistuje jiný pravý neutrální prvek, bychom provedli téměř stejně.
Vzhledem k tomu, že nemůže existovat jiný levý ani jiný pravý neutrální prvek, nemůže existovat ani jiný neutrální prvek. Tím je důkaz hotov.
Neutrální prvek grupoidu je značen, pokud používáme multiplikativní značení, symbolem \(1_G\) či jen \(1\). Používáme-li aditivní značení, pak symbolem \(0_G\) či jen \(0\).
Krácení
Def. GRUPOID.2: Mějme grupoid (\(G; \cdot\)). O prvku \(a\) z tohoto grupoidu řekneme, že je krátitelný zleva, resp. krátitelný zprava, pokud pro všechny prvky \(b,c \in G\) platí, že
\( a \cdot b = a \cdot c \Rightarrow b = c,\) resp.
\( b \cdot a = c \cdot a \Rightarrow b = c.\)
Je-li každý prvek z grupoidu krátitelný zleva, resp. zprava, říkáme, že daný grupoid je s levým, resp. pravým krácením. Je-li každý prvek z grupoidu krátitelný jak zleva, tak zprava, říkáme, že daný grupoid je s krácením.
Ukažme si to na konkrétních příkladech.
G6
Mějme (\(\mathbb{N_0}; +\)). Ptáme se, zda jde o grupoid s krácením zleva či zprava, popř. zda jde o grupoid s krácením. První vyřešme zkrácení zleva. To znamená, že se ptáme, zda pro všechny prvky \(a,b,c\) v přirozených číslech platí, že z \(a +b = a+c\) plyne, že \(b=c\).
Mám-li v přirozených číslech rovnici \(a+b = a+c\), můžu od obou stran odečíst \(a\) a dostávám právě \(b=c\).
(Úplně správně bychom neměli odečítat, protože jsme v grupoidu se sčítáním – správnější postup je použít jednu z vlastností přirozených čísel – pro zájemce více zde (V8)).
Máme tedy grupoid s levým krácením. Máme i grupoid s pravým krácením? Nyní se ptáme, zda pro všechny prvky v přirozených číslech platí, že z \(b+a = c+a\) plyne, že \(b = c\). Stejně jako minule můžeme v \(b+a = c+a\) odečíst \(a\) a dostaneme právě \(b = c\).
Náš grupoid je tedy jak s krácením zleva, tak s krácením zprava, čili jde o grupoid s krácením.
G7
Mějme (\(\mathbb{Z}; \cdot\)). Opět rozhodněme, jestli jde o grupoid s krácením zleva, zprava, resp. prostě s krácením.
Aby šlo o grupoid s krácením zleva, musí platit pro všechny prvky \(a,b,c\) ze \(\mathbb{Z}\) následující implikace: \(a \cdot b = a \cdot c \Rightarrow b = c\).
V rovnici \(a \cdot b = a \cdot c\) můžeme obě strany vydělit \(a\) a dostáváme právě \(b=c\). (Opět, dělit bychom úplně neměli, použijeme jednu z vlastností celých čísel, pro zájemce blíže zde (V21)). Ale pozor! Tímto \(a\) můžeme vydělit pouze, když bude nenulové.
Pokud by \(a = 0\), potom máme např. \(0 \cdot 7 = 0 \cdot 70\), ale z toho určitě neplyne, že \(7 = 70\). Čili zde nemáme grupoid s krácením zleva. Už teď tedy víme, že nejde o grupoid s krácením.
Máme grupoid s krácením zprava? Pokud ano, pak musí platit pro všechna \(a,b,c\) ze \(\mathbb{Z}\) následující implikace: \(b \cdot a = c \cdot a \Rightarrow b = c\). Opět můžeme dělit \(a\) a opět narazíme na problémy s \(0\). Čili nejde ani o grupoid s krácením zprava.
Dělení
Def. GRUPOID.3: Mějme grupoid (\(G;\cdot\)) a prvky \(a,b\) z tohoto grupoidu. Řekneme, že \(a\) dělí \(b\) zleva, resp. zprava, pokud existuje v tomto grupoidu prvek \(c\) takový, že
\(a \cdot c = b\), resp.
\(c \cdot a = b.\)
Jestliže \(a\) dělí zleva, resp. zprava každý prvek grupoidu, pak o něm říkáme, že je zleva dělící, resp. zprava dělící prvek grupoidu.
Je-li každý prvek grupoidu zleva, resp. zprava dělící, pak o grupoidu říkáme, že je s levým, resp. pravým dělením.
Je-li grupoid s levým, i s pravým dělením, pak říkáme, že je s dělením.
Opět si to ukažme na konkrétních příkladech.
G8
Mějme grupoid (\(\mathbb{N_0}; +\)). Je toto grupoid s levým či pravým dělením, popř. s dělením?
Aby tento grupoid byl s levým dělením, musí být každý prvek \(x\) z našeho grupoidu levým dělícím prvkem. To znamená, že libovolný prvek \(x\) z našeho grupoidu dělí zleva libovolný prvek \(y\) z našeho grupoidu, což dále znamená, že existuje \(z\) v našem grupoidu takové, že \(x \cdot z = y\), kde jako \(\cdot\) chápeme \(+\), tedy sčítání.
Možná méně nepřehledně můžeme psát, že aby byl náš grupoid s levým dělením, potom musí pro všechny dvojice \(x, y\) z našeho grupoidu platit, že existuje takové \(z\) z našeho grupoidu, že \(x \cdot z = y \), kde jako \(\cdot\) chápeme \(+\), tedy sčítání.
V tomto kontextu např. platí, že \(5\) dělí \(7\) zleva, protože existuje \(c = 2\) takové, že \(5+2 = 7\). Nenechme se zmást tím, co si představujeme pod slovem „dělení“, zde odkazujeme na naší definici dělitelnosti. Stejně tak např. \(3\) dělí \(4\) zleva, neboť existuje \(c = 1\) takové, že \(3+1 = 4\).
Ale ptejme se např. následovně: je pravda, že \(5\) dělí \(3\) zleva? Neboli existuje \(c \in \mathbb{N}\) takové, že \(5+c = 3\)? Odpovědí je, že neexistuje. Tedy neplatí, že (např.) \(5\) je zleva dělící prvek, tedy nemáme grupoid s dělením zleva (abychom měli grupoid s dělením zleva, každý prvek by musel být dělící zleva).
Zamysleme se nyní nad tím, zda máme grupoid s dělením zprava. Aby byl, musel by být každý prvek z \(\mathbb{N}\) dělící zprava. Ale máme, že např. \(8\) nedělí \(4\) zprava, neboť neexistuje takové přirozené \(c\) aby byla splněna následující rovnost: \(c+8 = 4\).
Čili dostáváme, že (\(\mathbb{N_0}; +\)) není grupoid s dělením zleva ani s dělením zprava (tedy ani s dělením).
G9
Mějme grupoid (\(A; \cdot\)), kde \(A = \{d, e, f\}\) a operace \(\cdot\) nechť je definovaná následujícím způsobem:
\[ \begin {array}{c|ccc} \cdot & d & e & f \\ \hline d & d & d & e \\ e & d & e & f \\ f & e & e & d \\ \end {array} \]Nyní nás zajímá, zda jde o grupoid s dělením a rovnou si ukažme, zda i s krácením.
Aby šlo o grupoid s levým dělením, musí pro všechny dvojice \(x, y\) z našeho grupoidu platit, že existuje takové \(z\) z našeho grupoidu, že \(x \cdot z = y \).
Rychlejší než si zkoušet popořadě dosazovat jednotlivá \(x,y,z\) je zkusit z tabulky vykoukat, zda nenajdeme nějakou rovnici (s neznámou \(z\)), která nemá v našem grupoidu řešení (pokud nic takového nevykoukáme, pak musíme vše zkusit).
Jaké je ale řešení rovnice \(d \cdot z = f\)? Ať se budu snažit sebe víc, tak takové \(z\) nenajdu. Tedy náš grupoid není s levým dělením.
Obdobně hledáme řešení rovnice \(z \cdot x = y \) s neznámou \(z\). Opět se nám ale povede najít rovnice, která nemá řešení: \(z \cdot e = f\). V našem grupoidu neexistuje takové \(z\), aby tuto rovnici řešilo. Tedy náš grupoid není ani s pravým dělením.
Vsuvka k tabulkám a dělení
Máme-li tabulku operace, pak celkem snadno poznáme, zda je náš grupoid s dělením zleva a s dělením zprava. Platí totiž, že mám-li v každém řádku všechny prvky nosné množiny, potom je tento grupoid s dělením zleva. Nemám-li v každém řádku všechny prvky, potom tento grupoid není s dělením zleva.
Nahlédnout to je relativně jednoduché – když mám v každém řádku všechny prvky dané množiny, tak pak např. i v prvním. To by na množině \(\{d, e, f \}\) znamenalo, že např. \(d \cdot z = x\), kde \(z\) je neznámá a kde za \(x\) můžeme dosadit cokoliv z dané množiny, bude mít vždy řešení, protože si z řádku vybereme takové \(x\), které chci a \(z\) je ten sloupec, ve kterém jsme \(x\) našli. Stejné úvahy můžeme provést i pro druhý, třetí…\(n\)-tý řádek a všechna možné \(x\).
A naopak, pokud se nějaké prvky v řádku opakují, potom nemám dělení zleva. Pokud se alespoň jeden prvek opakuje v jednom řádku alespoň dvakrát, potom musí alespoň jeden prvek z dané množiny v onom řádku chybět. Podívejme se pro lepší představu na příklad G9, u kterého jsme teď zjišťovali dělení. Tam v prvním řádku chybí \(f\), takže je zřejmé, že \(d\) (to je prvek, u kterého je tento řádek) \(\cdot z = f\) prostě nemá řešení.
Mám-li v každém sloupci každý prvek dané množiny, potom mám jistotu, že mám grupoid s dělením zprava. Opět to náhledneme relativně snadně – když mám v každém sloupci všechny prvky dané množiny, tak např. i v prvním. Potom je zřejmé, že např. \(z \cdot e = x\), kde \(z\) je neznámá a kde za \(x\) můžeme dosadit cokoliv z dané množiny, bude mít vždy řešení, protože si za \(z\) vybírám z celého sloupce, kde jsou všechny prvky. Stejné úvahy můžeme provést i pro druhý, třetí…\(n\)-tý sloupec a všechna možné \(x\).
A i naopak, pokud se nějaké prvky v sloupci opakují, nemáme dělení zprava. Vysvětlení je téměř stejné jako u dělení zleva, ale opět se podívejme na G9 a např. na druhý sloupec. V něm nám chybí \(f\), čili je zřejmé, že nenajdeme takové \(z\), aby \(z \cdot e \) (to je prvek, u kterého je tento sloupec) \(=f\).
Pokračování v G9
Jak je to v našem grupoidu s krácením? Abychom zde měli levé krácení, potom musí platit, že se rovná \(y\) a \(z\), pokud \(x \cdot y = x \cdot z\). To znamená, že nesmím najít \(y\) a od něj různé \(z\), které budou splňovat rovnost \(x \cdot y = x \cdot z \) pro libovolné \(x\) z našeho grupoidu.
Opět se to můžeme pokusit vykoukat z tabulky. Volíme-li \(x = d, y = d, z = e\), tak dostáváme, že \(d \cdot d = d \cdot e\) (neboť oba součiny jsou rovny \(d\)), ale určitě neplatí, že \(e = d\). Tento grupoid tedy není s levým krácením.
Abychom zde měli pravé krácení, potom musí platit, že se rovná \(y\) a \(z\), pokud \(y \cdot x = z \cdot x\). Zkusme se opět podívat na tabulku.
Vidíme, že volíme-li \(x = e, y = e, z = f\), tak dostáváme, že \(e \cdot e = f \cdot e\) (neboť oba součiny jsou rovny \(e\)), ale určitě neplatí, že \(e = f\). Tento grupoid tedy není s pravým krácením.
Vsuvka k tabulkám a krácení
Z tabulky opět můžeme relativně jednoduše vykoukat, jak je to s levým a pravým krácením. Máme-li ve všech řádcích každý prvek dané množiny jednou, potom máme grupoid s krácením zleva. Mám-li totiž např. v prvním řádku vše jednou, potom mi součiny \(d \cdot d, d \cdot e, d \cdot f\) vyjdou vždy různé, takže se nedostanu do stejných potíží jako v příkladu, který jsme právě prošli.
Obdobně máme-li ve všech sloupcích každý prvek dané množiny jednou, potom máme krácení zprava. Mám-li totiž např. v druhém sloupci různé prvky, potom mi součiny \(d \cdot d, e \cdot e, f \cdot e\) vyjdou různě a nedostanu se do stejných problémů jako v příkladu, který jsme právě prošli.
G10
Mějme grupoid, kde je naší nosnou množinou \(A = \{a,b,c\}\) a operace \(\cdot\) nechť je zadána následující tabulkou:
\[ \begin{array}{c|ccc} \cdot & a & b & c \\ \hline a& a & b & c \\ b & c & a & b \\ c & b & c & a \\ \end {array} \]Nyní nás bude zajímat, zda je tento grupoid s dělením a krácením. Zkusme to nevykoukat z tabulky, abychom si lépe ukázali, jak nám tabulka může hodně zjednodušit život. Pojďme se první podívat na dělení.
V tomto příkladě si to pojďme projít popořadě. Existuje prvek \(z\) z našeho grupoidu takový, že \(a \cdot z = a\)? Ano, stačí za \(z\) volit \(a\), neboť \(a \cdot a = a\).
Existuje prvek \(z\) z našeho grupoidu takový, že \(a \cdot z = b\)? Ano, stačí za \(z\) volit \(b\), neboť \(a \cdot b = b\).
Abychom to trochu urychlili, budeme jen psát vždy rovnici a vedle takové \(z\), které ji řeší.
\(a \cdot z = c \rightarrow z = c\),
\(b \cdot z = a \rightarrow z = b\),
\(b \cdot z = b \rightarrow z = c\),
\(b \cdot z = c \rightarrow z = a\),
\(c \cdot z = a \rightarrow z = c\),
\(c \cdot z = b \rightarrow z = a\),
\(c \cdot z = c \rightarrow z = b\).
V každém případě jsme dokázali najít \(z\), které danou rovnici řeší, máme tedy grupoid s dělením zleva. Ukažme si obdobně, že máme i grupoid s dělením zprava (tj. že pro všechny \(x,y\) z našeho grupoidu existuje takové \(z\), že \(z \cdot x = y \).
\(z \cdot a = a \rightarrow z = a\),
\(z \cdot a = b \rightarrow z = c\),
\(z \cdot a = c \rightarrow z = b\),
\(z \cdot b = a \rightarrow z = b\),
\(z \cdot b = b \rightarrow z = a\),
\(z \cdot b = c \rightarrow z = c\),
\(z \cdot c = a \rightarrow z = c\),
\(z \cdot c = b \rightarrow z = b\),
\(z \cdot c = c \rightarrow z = a\).
Opět jsme pro všechny dvojice \(x,y\) našli potřebné \(z\), které řeší danou rovnici.
Nyní se podívejme, zda máme grupoid s krácením zleva, tedy je-li každý prvek \(x\) z našeho grupoidu krátitelný zleva, tedy platí-li pro všechny \(y,z\), že pokud platí \(x \cdot y = x \cdot z\), pak \(y = z\).
Jako první berme \(x = a\). Podívejme se na \(a \cdot y = a \cdot z\). Můžu volit nějaké \(y\) a od něj různé \(z\), tak aby daná rovnost stále platila? Máme, že \(a \cdot a = a \cdot a\) a také že \(a \cdot a \neq a \cdot b\) a \(a \cdot a \neq a \cdot c\) (dále už nebudeme psát tyto nerovnosti, ale dají se snadno ověřit).
Pak máme, že
\(a \cdot b = a \cdot b\),
\(a \cdot c = a \cdot c\).
Pro \(x = b\) máme, že
\(b \cdot a = b \cdot a\),
\(b \cdot b = b \cdot b\)
\(b \cdot c = b \cdot c\).
Konečně pro \(x = c \) máme, že
\(c \cdot a = c \cdot a\),
\(c \cdot b = c \cdot b\),
\(c \cdot c = c \cdot c\).
Ve všech případech tedy máme, že pokud platí \(x \cdot y = x \cdot z\), potom platí, že \(y = z \) (a pokud \(x \cdot y \neq x \cdot z\), potom \(y \neq z\)). Tedy náš grupoid je s krácením zleva.
Analogicky bychom ukázali, že náš grupoid je i s krácením zprava.
Po tomto dosti vyčerpávajícím způsobu použijme „tabulkovou metodu“. Vidíme, že v každém řádku je každý prvek z nosné množiny jednou, takže máme krácení i dělení zleva. Stejně tak vidíme, že v každém sloupci je každý prvek z nosné množiny jednou, takže máme krácení i dělení zprava. Máme tedy grupoid s krácením i s dělením. A to je vše, zjistili jsme to o něco kratším způsobem. Budeme-li mít v budoucnu grupoid s tabulkou, budeme zjišťovat dělení a krácení přes ni.
Krácení vs. dělení
Jaký je tedy rozdíl mezi krácením a dělením, když v tabulce je zjišťujeme stejně? V strukturách s nekonečně velkou množinou. Ukažme si grupoid, který je s krácením, ale ne s dělením. Tento grupoid je (\(\mathbb{N_{>0}}; \cdot\)), tedy přirozená čísla (větší než nula) s násobením.
Aby šlo o grupoid s krácením zleva, musí pro všechna přirozená \(x,y,z\) platit, že pokud \(xy = xz\), pak \(y = z\). To ale pro přirozená čísla platí, mám-li např. \(x = 3, y = 5\), pak rovnici \(3 \cdot 5 = 3 \cdot z\) řeší jen a pouze \(z = 5\), tedy \(y = z\).
Aby šlo o grupoid s krácením zprava, musí pro všechna přirozená \(x,y,z\) platit, že pokud \(yx = zx\), pak \(y = z\). To ale pro přirozená čísla platí, mám-li např. \(x = 3, y = 5\), pak rovnici \(5 \cdot 3 = z \cdot 3\) řeší jen a pouze \(z = 5\), tedy \(y = z\).
Pozor, pokud bychom měli grupoid (\(\mathbb{N_0}; \cdot\)), potom máme např. \(0 \cdot 3 = 0 \cdot 5\), ale určitě neplatí, že \(3=5\), tedy by nešlo o grupoid s krácením.
Ukažme nyní, že (\(\mathbb{N_{>0}}; \cdot\)) není grupoid s dělením. Aby šlo o grupoid s dělením zleva, muselo by pro všechny \(x,y \in \mathbb{N_{>0}}\) existovat takové \(z\), že \(xz = y\). Mějme \(x = 4, y = 2\), potom rovnici \(4 \cdot z = 2\) neřeší žádné přirozené číslo. Tento grupoid tedy není s krácením.