Abstraktní algebra

Cílem této série článků bude podat základní představu o tom, co je to abstraktní algebra. Uděláme si drobnou rekapitulaci toho, co známe. Na ZŠ jistě každý zažil aritmetiku, kde se učil sčítat, odčítat, násobit, dělit, umocňovat, odmocňovat konkrétní čísla. Byla to nauka o číslech (\(1\); \(2\); \(3\); \(0\); \(-5\); \(-4.25\); …) a operacích nad nimi (\(1+1\); \(2+5\); \(3-8\); \(2 \cdot 4\); \(3^5\); \(\sqrt{9}\); …). Tyto operace měly (s trochou štěstí) i nějaký výsledek:

\[
\begin{align*}
1+1 & = 2\\
2+5 & = 7\\
3-8 & = -5\\
2 \cdot 4 & = 8\\
3^3 & = 27\\
\sqrt{9} & = \pm 3
\end{align*}
\]

Operace jsme v aritmetice povětšinou definovali víceméně intuitivně. „Malou násobilku“ (do \(10 \cdot 10\) ) jsme se učili, někteří zvládli zapamatovat si „velkou násobilku“ (do \(20 \cdot 20\) ). Řekli jsme si také, jak se „přičítá jednička“ (že \(5+1\) je \(6\) ). Na „malé násobilce“ jsme tedy definovali operace výčtem:

\[
\begin{align*}
1 \cdot 1 & = 1\\
1 \cdot 2 & = 2\\
1 \cdot 3 & = 3\\
\dots\\
2 \cdot 1 & = 2\\
2 \cdot 2 & = 4\\
2 \cdot 3 & = 6\\
\dots\\
\end{align*}
\] \[
\begin{align*}
a + a & = 2a\\
a + b & = b + a && (\text{např. pro } a = 1 \text{ a } b = 2 \text{ je to: } 1+2 = 2+1)\\
S & = a^2 && (\text{vzorec pro obsah čtverce; pro čtverec o straně } a = 4 \\
& && \text { dostaneme: } S = 4^2 = 16)\\
c & = 20 \cdot m && (\text{vzorec pro výpočet ceny jablek při 20,-/kg;} \\
& && \text{ pro hmotnost } m = 5\ kg \text{ dosadíme a dostaneme}\\
& && \text{ celkovou cenu } c = 20 \cdot 5 = 100)
\end{align*}
\]

Nyní jsme se dozvěděli, jak se dají obecně nadefinovat některé nám známé operace trochu lepším způsobem, aniž bychom museli vyčítat výsledky všech možných kombinací operandů. Např. násobení:

\[
\begin{align*}
& & a \cdot b & = \underbrace{b + b + \dots + b + b}_{\text{a-krát}}\\
& \text{např. } & 8 \cdot 4 & = \underbrace{4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4}_{\text{8-krát}} = 32\\
\end{align*}
\]

Umocňování:

\[
\begin{align*}
& & a^b & = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a \cdot a}_{\text{b-krát}}\\
& \text{např. } & 2^5 & = \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}_{\text{5-krát}} = 32\\
\end{align*}
\]

Následně přišly rovnice (a jejich soustavy):

$$
2x + 4 = 16
$$

a jejich řešení:

\[
\begin{align*}
2x+4 &= 16 & & / -4\\
2x &= 12 & & / \colon 2\\
x &= 6
\end{align*}
\]

Vidíme, že elementární algebra je jakýmsi rozšířením a v určitých ohledech zobecněním aritmetiky.

Dá se ale jít ještě o kus dál? Na tuto otázku se většinou odpovídá kladně. Nejdříve si ovšem určitě projděte článek Množiny. Bude se Vám hodit i článek Relace, zobrazení, ekvivalence.

Pro mnohem lepší pochopení souvislostí znalostí nabytých na ZŠ (počítání s přirozenými, celými, racionálními reálnými čísly) doporučuji přečíst články z kategorie Konstrukce číselných oborů. Je to možná čtení trochu složitější, ale ačkoliv pro pochopení dalšího textu a kapitol není jejich přečtení nutné, určitě se k nim vraťte minimálně po skončení této série o abstraktní algebře. Budou Vám zajisté dávat mnohem větší smysl.

Dosud jsme pracovali s čísly (ať už s celými, reálnými, či dokonce komplexními) a operace jsme definovali nad nimi. Máme sčítání, odčítání, násobení celých čísel (přesněji řečeno nad celými čísly). V reálných číslech (to jsou ty s desetinnou tečkou (příp. čárkou)) umíme navíc dělit (dělení nad celými čísly se nedefinuje, protože podíl celých čísel nemusí být číslo celé: \(7/2=3.5\) ).

Určitému „druhu“ čísel (a nejen čísel – uvidíme dál) spolu s operacemi nad nimi (s nějakými omezeními – uvidíme dál) se dohromady říká algebraická struktura.

Řekněme, že máme množinu přirozených čísel s nulou – to jsou čísla \(0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots\) Tato množina se označuje \(\mathbb{N_0}\). Říkáme jí nosná množina, či nosič. Jsou to prvky, nad kterými provádíme nějaké operace. Nad touto nosnou množinou si definujeme operaci sčítání tak, jak ji známe ze ZŠ. Označíme ji \(+\).

Jedna důležitá poznámka: operace sčítání je tzv. binární operací, protože sčítá vždy 2 prvky (operandy). Že prý jste už sčítali 3 čísla najednou? Není to pravda 🙂 Matematicky ve skutečnosti sčítáme postupně vždy 2 prvky, ze kterých vypadne prvek jíný, který následně přičítáme dále. Tak je totiž sčítání ve skutečnosti definováno:

\[
\begin{align*}
2+5+8+11+14 &= (2+5)+8+11+14 & & \text{trochu si to uzávorkujeme}\\
& =((2+5)+8)+11+14\\
& =((\underbrace{(2+5)}_{7}+8)+11)+14 & & \text{a jdeme postupně sčítat}\\
& =(\underbrace{(7+8)}_{15}+11)+14\\
& =\underbrace{(15+11)}_{26}+14\\
& =\underbrace{26+14}_{40}\\
& =40\\
\end{align*}
\]

Uspořádaná dvojice \((\mathbb{N_0}; +)\) je onou algebraickou strukturou. Má vše, co potřebuje: nosnou množinu i operaci.

Algrebaická struktura má ale dvě omezení:

• Operace musí být definována nad nosnou množinou (nemůžeme mít nosnou množinou celá čísla a operaci definovat nad reálnými čísly).
• Výsledkem operace musí být opět prvek nosné množiny. Proto například na přirozených číslech nemůže být tou operací odčítání, protože výsledek operace \(3-5=-2\) není přirozené číslo. Ovšem bude-li nosnou množinou množina všech celých čísel (tudíž i záporných), bude společně s operací odčítání tvořit algebraickou strukturu (\(-2\) je celé číslo).

Dohromady, když operace je definována nad nosnou množinou a jejím výsledkem je opět prvek nosné množiny, říkáme, že operace je definována na nosné množině.

Zkráceně tedy můžeme říci, že nosná množina spolu s operací/operacemi na nosné množině je algebraickou strukturou.

A nyní již ke slibovanému zobecnění. Abstraktní algebra totiž může fungovat téměř nad čímkoliv.

Příklad

Definujeme si operaci sčítání. Abychom předešli nejasnostem, nebudeme prozatím operaci označovat \(+\), ale \(\oplus\). K běžnému značení přejdeme později, až bude situace trochu přehlednější 🙂

Základ operací zvolíme stejně jako při míchání barevných světel – jen si ho trochu zjednodušíme (nebudeme řešit „množství“ složek jednotlivých barev). Jestliže nesvítí světlo žádné a posvítíme červenou baterkou, výsledkem bude červené světlo. Stejně tak se zelenou a modrou.
Jestliže ovšem již svítí červené světlo a přidáme další červené, výsledkem bude opět červená. Analogicky se zelenými a modrými světly.
Bude-li ovšem svítit červené světlo a posvítíme si navíc zeleným, výsledkem bude žlutá barva. Přidáme-li k červenému světlu modré, vznikne fialová. Zelené a modré dá dohromady azurovou.
Jestliže posvítíme do žlutého světla modrým, výsledkem je barva bílá. Stejně tak zkombinujeme-li fialové se zeleným či azurové s červeným.
Bílé světlo má již všechny složky, při dalším svícení čímkoliv jiným bude výsledek bílý.

Operaci sčítání tedy můžeme rozepsat do tabulky:

\[
\begin{array}{c|cccccccc}
\oplus & černá & červená & zelená & modrá & žlutá & fialová & azurová & bílá\\
\hline
černá & černá & červená & zelená & modrá & žlutá & fialová & azurová & bílá\\
červená & červená & červená & žlutá & fialová & žlutá & fialová & bílá & bílá\\
zelená & zelená & žlutá & zelená & azurová & žlutá & bílá & azurová & bílá\\
modrá & modrá & fialová & azurová & modrá & bílá & fialová & azurová & bílá\\
žlutá & žlutá & žlutá & žlutá & bílá & žlutá & bílá & bílá & bílá\\
fialová & fialová & fialová & bílá & fialová & bílá & fialová & bílá & bílá\\
azurová & azurová & bílá & azurová & azurová & bílá & bílá & azurová & bílá\\
bílá & bílá & bílá & bílá & bílá & bílá & bílá & bílá & bílá\\
\end{array}
\]

Každý výsledek sčítání nad množinou \(\mathbb{M}\) zřejmě do množiny \(\mathbb{M}\) také patří. \((\mathbb{M}; \oplus)\) je tedy algebraická struktura.

Příklad

Mějme nosnou množinu:

$$
\mathbb{M}=\{1, 2, 3, 4, 5\}
$$

Operaci \(\oplus\) definujeme obdobně jako obyčejné sčítání, ovšem dostali-li bychom se „přes rozsah“ (např. \(3+3\) ), výsledkem nebude \(6\), ale \(5\):

\[
\begin{array}{c|ccccc}
\oplus & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 5\\
2 & 3 & 4 & 5 & 5 & 5\\
3 & 4 & 5 & 5 & 5 & 5\\
4 & 5 & 5 & 5 & 5 & 5\\
5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 5\\
\end{array}
\]

Opět máme algebraickou strukturu \((\mathbb{M}; \oplus)\).
Jestliže by např. výsledek sčítání nad prvky \(1\) a \(5\) byl \(1 \oplus 5 = 6\), o algebraickou strukturu by se nejednalo (výsledek není prvkem \(\mathbb{M}\) ).

Příklad

Mějme nosnou množinu:

$$
\mathbb{M}=\{0, 1, 2, 3, 4\}
$$

Nyní si vezmeme na pomoc operaci mod, která dává zbytek po celočíselném dělení. Definujeme sčítání a násobení na \(\mathbb{M}\):

\[
\begin{align*}
a \oplus b & = (a + b) \mod 5\\
a \odot b & = (a \cdot b) \mod 5\\
\end{align*}
\]

Použijeme tedy klasické sčítání a odčítání a výsledek přesahující hodnotu \(4\) „přetočíme“ zpět na začátek. Z \(5\) se stane \(0\), z \(6\) se stane \(1\), ze \(7\) bude \(2\) z \(8\) bude \(3\), z \(9\) se stane \(4\), z \(10\) bude opět \(0\), z \(11\) bude \(1\) atd.

\[
\begin{array}{c|ccccc}
\oplus & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\
\hline
0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\
1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 0\\
2 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1\\
3 & 3 & 4 & 0 & 1 & 2\\
4 & 4 & 0 & 1 & 2 & 3\\
\end{array}
\] \[
\begin{array}{c|ccccc}
\odot & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\
2 & 0 & 2 & 4 & 1 & 3\\
3 & 0 & 3 & 1 & 4 & 2\\
4 & 0 & 4 & 3 & 2 & 1\\
\end{array}
\]

\((\mathbb{M}; \oplus)\) je algebraická struktura, \((\mathbb{M}; \odot)\) je algebraická struktura a i \((\mathbb{M}; \oplus, \odot)\) je algebraická struktura.

Příklad

Mějme množinu přirozených čísel včetně nuly a definujme operace sčítání a násobení tak, jak ho obvykle známe:

\[
\begin{align*}
\mathbb{M}& =\mathbb{N_0}=\{0, 1, 2, 3, 4, \dots\}\\
a \oplus b & = a + b\\
a \odot b & = a \cdot b\\
\end{align*}
\]

\((\mathbb{N_o}; \oplus)\), \((\mathbb{N_o}; \odot)\) i \((\mathbb{N_o}; \oplus, \odot)\) jsou algebraické struktury.

Příklad

Mějme množinu celých čísel a definujme operace sčítání, odčítání a násobení tak, jak je obvykle známe:

\[
\begin{align*}
\mathbb{M}& =\mathbb{Z_0}=\{\dots, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, \dots\}\\
a \oplus b & = a + b\\
a \ominus b & = a\,- b\\
a \odot b & = a \cdot b\\
\end{align*}
\]

\((\mathbb{Z}; \oplus)\), \((\mathbb{Z}; \ominus)\), \((\mathbb{Z}; \odot)\), \((\mathbb{Z}; \oplus, \ominus)\), \((\mathbb{Z}; \oplus, \odot)\), \((\mathbb{Z}; \ominus, \odot)\) i \((\mathbb{Z}; \oplus, \ominus, \odot)\) jsou algebraické struktury.

Nyní víte, co je algebraická struktura. Není to žádná věda. Můžeme se tedy směle pustit do klasifikace jednotlivých algebraických struktur a jiných zajímavostí abstraktní algebry.