Počítání v \(\mathbb{Z} \)

Stejně jako v přirozených číslech si můžeme v celých číslech dokázat spoustu pěkných vlastností

a+0 = a = 0+a (V13)

Celé číslo \(0\) vyjadřujeme jako třídu ekvivalence \([(0, 0)]\) a celé číslo  \(a\) jako \( [(m,n)] \). Chceme tedy ukázat, že
$$ [(m,n)]+[(0,0)] = [(m,n)] = [(0,0)]+[(m,n)]. $$

 

První ukažme, že \( [(m,n)]+[(0,0)] = [(m,n)] \).

\( [(m,n)]+[(0,0)] = [m+0,n+0)] \) z definice sčítání na \(\mathbb{Z}\),

 

\([(m+0,n+0)] = [m,n] \) z definice sčítání na \(\mathbb{N}\).

 

Teď ukažme, že \( [(m,n)] = [(0,0)] + [(m,n)]\).

\( [(m,n)] = [(m+0,n+0)]\) podle definice sčítání na \(\mathbb{N}\),

\( [(m+0,n+0)] = [(0+m, 0+n)] \) podle V3,

\([(0+m,0+n)] = [(0,0)]+[(m,n)]\) podle definice sčítání na \(\mathbb{Z}\),

čímž je důkaz hotov.

Sčítání v \(\mathbb{Z}\) je asociativní (V14)

Tedy
$$ \forall a,b,c \in \mathbb{Z}: (a+b)+c = a+(b+c). $$
Vyjádřeme si \(a\) jako \( [(d,e)]\), \(b\) jako \( [(f,g)] \) a \(c\) jako \( [(h,i)] \). Čili chceme ukázat, že
$$ ([(d,e)]+[(f,g)])+[(h,i)] = [(d,e)]+([(f,g)]+[(h,i)]). $$

\( ([(d,e)]+[(f,g)])+[(h,i)] =  [(d+f,e+g)]+[(h,i)] \) z definice sčítání na \(\mathbb{Z}\),

\( [(d+f,e+g)]+[(h,i)] = [(d+f+h,e+g+i)]\) z definice sčítání na \(\mathbb{Z}\),

\( [(d+f+h,e+g+i)] = [(d+(f+h),e+(g+i))] \) podle V2,

\( [(d+(f+h),e+(g+i))] = [(d,e)]+[(f+h,g+i)] \) z definice sčítání na \(\mathbb{Z}\),

\([(d,e)]+[(f+h,g+i)] = [(d,e)]+([(f,g)]+[(h,i)]) \) z definice sčítání na \(\mathbb{Z}\),

čímž je důkaz hotov.

Sčítání v \(\mathbb{Z}\) je komutativní (V15)

Jinými slovy
$$ \forall a,b \in \mathbb{Z}: a+b = b+a. $$

Místo \(a\) pišme \([(c,d)]\) a místo \(b\) pišme \( [e,f] \). Chceme tedy ukázat, že \([(c,d)]+[(e,f)] = [(e,f)]+[(c,d)] \).

\([(c,d)]+[(e,f)] = [(c+e,d+f)]\) podle definice sčítání v \(\mathbb{Z}\),

\([(c+e,d+f)] = [(e+c,f+d)] \) podle V3,

\( [(e+c,f+d)] = [(e,f)]+[(c,d)]\) z definice sčítání na \(\mathbb{Z}\),

čímž je důkaz hotov.

Distributivita v \(\mathbb{Z}\) (V16)

Tedy:
$$ \forall a,b,c \in \mathbb{Z}: (a+b)*c = a*c+b*c. $$

Opět místo \(a\) pišme \([(c,d)]\), místo \(b\) pišme \( [(e,f)] \) a místo \(c\) pišme \( [(g,h)] \). Chceme tedy ukázat, že \( ([(c,d)]+[(e,f)])*[(g,h)] = [(c,d)]*[(g,h)]+[(e,f)]*[(g,h)] \).

\( ([(c,d)]+[(e,f)])*[(g,h)] = [(c+e,d+f)]*[(g,h)] \) z definice sčítání na \(\mathbb{Z}\),

\( [(c+e,d+f)]*[(g,h)] = [( (c+e)*g+(d+f)*h,(d+f)*g+(c+e)*h)] \) z definice násobení na \(\mathbb{Z}\),


\([( (c+e)*g+(d+f)*h,(d+f)*g+(c+e)*h)] = [(cg+eg+dh+fh, dg+fg+ch+eh)] \) podle V4,


\([(cg+eg+dh+fh, dg+fg+ch+eh)= [( (cg+dh)+(eg+fh), (ch+dg)+(eh+fg) )] \) podle V2,


\( [( (cg+dh)+(eg+fh), (ch+dg)+(eh+fg) )] = [(cg+dh,ch+dg)]+[(eg+fh,eh+fg)] \) z definice sčítání na \(\mathbb{Z}\),


\( [(cg+dh,ch+dg)]+[(eg+fh,eh+fg)] =  [(c,d)]*[(g*h)]+[(e,f)]*[(g,h)] \) z definice násobení na \(\mathbb{Z}\),

čímž je důkaz hotov.

a*0 = 0 = 0*a (V17)

Místo \(a\) pišme \([(m,n)] \), chceme tedy ukázat, že \( [(m,n)]*[(0,0)=[(0,0)]=[(0,0)]*[(m,n)] \). První ukažme, že \( [(m,n)]*[(0,0)]=[(0,0)] \).

\( [(m,n)]*[(0,0)] = [(m*0+n*0,n*0+m*0)] \) z definice násobení na \(\mathbb{Z}\),

\([(m*0+n*0,n*0+m*0)] = [(0+0, 0+0)]\) z definice násobení na \(\mathbb{N}\),

\( [(0+0, 0+0)] = [(0,0)]\) z definice sčítání na \(\mathbb{N}\),

čímž je první polovina důkazu hotova. Nyní dokažme, že \([(0,0)]=[(0,0)]*[(m,n)] \).

\([(0,0)] = [(m*0,m*0)] \) z definice násobení na \(\mathbb{N}\),

\([(m*0,m*0)] = [(0*m,0*m)] \) podle V6,

\([(0*m,0*n)] = [(0*m+0,0*m+0)] \) z definice násobení na \(\mathbb{N}\),

\([(0*m+0,0*m+0)] = [(0*m+n*0,0*m+n*0)] \) z definice násobení na \(\mathbb{N}\),

\( [(0*m+n*0,0*m+n*0)] = [(0*m+0*n,0*m+0*n)] \) podle V6,

\([(0*m+0*n,0*m+0*n)] = [(0,0)*[(m,n)]] \) z definice násobení na \(\mathbb{Z}\),

čímž je důkaz hotov.

Násobení v \(\mathbb{Z}\) je komutativní (V18)

$$ \forall a,b \in \mathbb{Z}: a*b = b*a. $$
Místo \(a\) pišme \([(c,d)]\) a místo \(b\) pišme \([(e,f)]\).

\([(c,d)]*[(e,f)] = [(c*e+d*f,d*e+c*f)]\) z definice násobení na \(\mathbb{Z}\),

\([(c*e+d*f,d*e+c*f)] = [(e*c+f*d, f*c+e*d)]\) podle V2 a V3,

\( [(e*c+f*d, f*c+e*d)] = [(e,f)]*[(c,d)]\) z definice násobení na \(\mathbb{Z}\),

čímž je důkaz hotov.

Násobení v \(\mathbb{Z}\) je asociativní (V19)

$$ \forall a,b,c \in \mathbb{Z}: (a*b)*c = a*(b*c). $$

Místo \(a\) pišme \([(d,e)]\), místo \(b\) pišme \( [(f,g)] \) a místo \(c\) pišme \( [(h,i)] \).

\( ([(d,e)]*[(f,g)])*[(h,i)] = [(df+eg, dg+ef)]*[(h,i)] \) z definice násobení na \(\mathbb{Z}\),

\( [(df+eg, dg+ef)]*[(h,i)] = [(df+eg)*h+(dg+ef)*i, (df+eg)*i+(dg+ef)*h]\) z definice násobení na \(\mathbb{Z}\),

\( [(df+eg)*h+(dg+ef)*i, (df+eg)*i+(dg+ef)*h] = [(dfh+egh+dgi+efi, dfi+egi+dgh+efh] \) podle V4,

\([(dfh+egh+dgi+efi, dfi+egi+dgh+efh]=[( d*(fh+gi)+e*(fi+gh), d*(fi+gh)+e*(fh+gi) )] \) podle V2, V3, V4 a V6,

\([( d*(fh+gi)+e*(fi+gh), d*(fi+gh)+e*(fh+gi) )] = [(d,e)]*[(fh+gi,fi+gh)] \) z definice násobení na \(\mathbb{Z}\),

\([(d,e)]*[(fh+gi,fi+gh)] = [(d,e)]*([(f,g)*(h,i)])\) z definice násobení na \(\mathbb{Z}\),

čímž je důkaz hotov.

„Zkrácení“ v \(\mathbb{Z}\) na sčítání (V20)

$$ \forall a,b,c \in \mathbb{Z}: a+c=b+c \Rightarrow a=b. $$

Místo \(a\) pišme \([(d,e)]\), místo \(b\) pišme \( [(f,g)] \) a místo \(c\) pišme \( [(h,i)] \).

\( [(d,e)]+[(h,i)] = [(f,g)]+[(h,i)]\),

\( [(d+h,e+i)] = [(f+h,g+i)]\) z definice sčítání na \(\mathbb{Z}\).

Když vybereme libovolný prvek z levé strany třídy ekvivalence, musí být ekvivalentní libovolnému prvku z pravé strany třídy ekvivalence, tedy

\( (d+h, e+i) \sim (f+h,g+i) \),

\( d+h+g+i = e+i+f+h \) z definice ekvivalence na \(\mathbb{Z}\),

\(d+g+(h+i) = f+e+(h+i)\) podle V2 a V3,

\( [(d,e)] = [(f,g)] \) z definice ekvivalence na \(\mathbb{Z}\),

čímž je důkaz hotov.

„Zkrácení“ v \(\mathbb{Z}\) na násobení(V21)

$$ \forall a,b,c \in \mathbb{Z}, c \neq 0: a*c = b*c \Rightarrow a = b. $$

Místo \(a\) pišme \([(d,e)]\), místo \(b\) pišme \( [(f,g)] \) a místo \(c\) pišme \( [(h,i)] \). To, že \(c \neq 0\) znamená, že \( (0,0) \notin [(h,i)] \) neboli že \( h \neq i \).

\([(d,e)*(h,i) = [(f,g)*(h,i)]\),

\( [(dh+ei,di+eh)] = [(fh+gi,fi+gh)] \) z definice násobení na \(\mathbb{Z}\),

\( dh+ei+fi+gh = di+eh+fh+gi \) z definice ekvivalence na \(\mathbb{Z}\),

\(h*(d+g)+i*(e+f) = h*(e+f)+i*(d+g) \) podle V2, V3, V4 a V6.

Můžou se stát dvě následující věci – \(h<i \lor i <h \) (nemůže se stát, že \(h=i\), neboť máme podmínku, že \(h \neq i\) ).

Pokud je \(h<i\), pak existuje takové nenulové \(m \in \mathbb{N}\), že \(i = h+m \). Dosaďme tedy za \(i\):

\(h*(d+g)+(h+m)*(e+f) = h*(e+f)+(h+m)*(d+g), \)

\(h*(d+g)+h*(e+f)+m*(e+f) = h*(e+f)+h*(d+g)+m*(d+g) \) podle V4,

\(m*(e+f)+(h*(d+g)+h*(e+f)) = m*(d+g) +(h*(d+g)+h*(e+f)) \) podle V2 a V3,

\(m*(e+f) = m*(d+g) \) podle V8,

\(e+f = d+g)\) podle V12 (m je nenulové),

\(d+g = e+f\) podle symetrie ekvivalence,

\( (d,e) \sim (f,g) \) z definice relace ekvivalence na \(\mathbb{Z}\),

čímž je důkaz hotov.

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna. Vyžadované informace jsou označeny *