Počítání v \(\mathbb{R}\)

\(\alpha < \beta\)

Definujme si na \(\mathbb{R}\) relaci „menší než“:

$$ \alpha < \beta \Leftrightarrow \alpha \subset \beta. $$

Jako po každé slušné relaci „menší než“ chceme, aby splňovala tranzitivitu a trichotomii.

Pokračovat ve čtení “Počítání v \(\mathbb{R}\)”

Numerické metody — nalezení kořene funkce metodou bisekce

Proč numerické metody?

Někdy se neskutečně hodí znát řešení[1]kořeny nějaké rovnice n-tého řádu, ale není třeba znát naprosto přesné analytické řešení, ale řekněme nějaké řešení s přesností na \(3\) platné číslice. Proč bychom vůbec ale takové řešení chtěli? Pokračovat ve čtení “Numerické metody — nalezení kořene funkce metodou bisekce”

Poznámky pod čarou

Poznámky pod čarou
1 kořeny

Grupoid

Grupoid

V minulém článku jsme si řekli něco o algebraických strukturách. Grupoid je jednou z nejjednodušších algebraických struktur. Je to struktura s jednou binární operací. Žádné další požadavky nemusí být splněny, abychom o dané struktuře řekli, že je grupoidem. Grupoid budeme značit jako dvojici (množina; operace). Např. (\( \mathbb{N}; +\) ) pro nás bude množina přirozených čísel se sčítáním.

Pokračovat ve čtení “Grupoid”

Abstraktní algebra

Cílem této série článků bude podat základní představu o tom, co je to abstraktní algebra. Uděláme si drobnou rekapitulaci toho, co známe. Na ZŠ jistě každý zažil aritmetiku, kde se učil sčítat, odčítat, násobit, dělit, umocňovat, odmocňovat konkrétní čísla. Byla to nauka o číslech (\(1\); \(2\); \(3\); \(0\); \(-5\); \(-4.25\); …) a operacích nad nimi (\(1+1\); \(2+5\); \(3-8\); \(2 \cdot 4\); \(3^5\); \(\sqrt{9}\); …). Tyto operace měly (s trochou štěstí) i nějaký výsledek:

Pokračovat ve čtení “Abstraktní algebra”

Reálných čísel je více než přirozených

Reálných čísel je více než přirozených. Racionálních je stejně jako celých a celých je stejně jako přirozených. Přirozených čísel je stejně jako všech prvočísel a také je jich stejně jako čísel v množině \( \{10^{741}, 10^{2*741}, 10^{3*741},…\} = \{10^{k*741}| k \in \mathbb{N_{>0}} \} \) (tedy množiny, kde beru každé \(10^{741}\)-té číslo). Některá z těchto naprosto neintuitivních tvrzení si dokážeme v tomto článku. První však musíme pořádně napsat, jak takové porovnání vůbec provádět.

Pokračovat ve čtení “Reálných čísel je více než přirozených”

Jaké je řešení rovnice \(x^2=2\) aneb konstrukce reálných čísel (Dedekindovy řezy)

První motivace ke konstrukci reálných čísel

Potom, co jsme si již vytvořili přirozená, celá i racionální čísla, nám zbývají jen tzv. reálná čísla. Jednou z motivací nám může být otázka, jaké číslo řeší následující rovnici

$$ x^2 = 2. $$

Pokračovat ve čtení “Jaké je řešení rovnice \(x^2=2\) aneb konstrukce reálných čísel (Dedekindovy řezy)”

Kolik je 3/2+7/4 aneb konstrukce racionálních čísel

Co číst před tímto článkem – článek o počítání v \(\mathbb{Z}\).

Některé rovnice nemají v \(\mathbb{Z}\) řešení

Stále existují rovnice, které řešit v celých číslech. Co kdybych se, podobně jako v minulém příkladě ptal následovně:

Mám 2 koláče, chci dvakrát dostat ten samý kus koláče a mít 3 koláče, kolik koláče pokaždé dostanu?

Pokračovat ve čtení “Kolik je 3/2+7/4 aneb konstrukce racionálních čísel”

Počítání v \(\mathbb{Z} \)

Stejně jako v přirozených číslech si můžeme v celých číslech dokázat spoustu pěkných vlastností

a+0 = a = 0+a (V13)

Celé číslo \(0\) vyjadřujeme jako třídu ekvivalence \([(0, 0)]\) a celé číslo  \(a\) jako \( [(m,n)] \). Chceme tedy ukázat, že
$$ [(m,n)]+[(0,0)] = [(m,n)] = [(0,0)]+[(m,n)]. $$

Pokračovat ve čtení “Počítání v \(\mathbb{Z} \)”